Den Satz von Morley beweisen

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Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »
Den Satz von Morley beweisen
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an meiner Seminararbeit und versuche gerade den Beweis des Satzes von Morley zu verstehen aber in Buch von H.S.M. Coxeter, "Unvergängliche Geometrie" bereitet mir die Argumentation an einigen stellen Probleme.
Im Buch steht das:
"Die drei Schnittpunkte der drei anliegenden Winkeldreiteilende eines beliebigen Dreiecks bilden ein gleichseitiges Dreieck. Mit anderen Worten: Jedes Dreieck ABC bestimmt ein gleichseitiges Dreieck PQR , wenn die Winkel A, B und C gedrittelt werden durch AQ und AR, BR und BP, CP und CQ, wie in Figur 1.9a. (Es wird sehr umständlich wenn man einen direkten Beweis zu geben versucht, jedoch verschwinden die Schwierigkeiten, wenn man mit einem gleichseitigen Dreieck beginnt und das allgemeine Dreieck darauf aufbaut, das dann als das gegebene Dreieck ABC angesehenen wird.) Errichte über den Seiten QR, RP und PQ eines gleichseitigen Dreiecks die gleichseitigen Dreiecks die gleichschenkligen Dreiecke P'QR, Q'RP, R'PQ, deren Basiswinkel
den Beziehungen genügen , .
Verlängern Sie die Schenkel dieser gleichschenkligen Dreiecke über die Basis hinaus bis sie sich in den Punkten A, B und C schneiden. Da ist, können wir in Figur 1.9a die Größe einiger anderer Winkel angeben; z.B. hat das Dreieck AQR bei der Ecke A den Winkel , da bei Q und R die Winkel und betragen. Nach 1.51 kann man den Inkreismittelpunkt eines Dreieckes dadirch festlegen, dass er auf der Winkelhalbierenden des Winkels A so liegt, dass Um diesese Bemerkung auf den Punkt P im Dreieck P'BC anzuwenden, bemerken wir, dass die Gerade PP' (welche MIttellinie sowohl des gleichseitigen Dreiecks PQR als auch des gleichschenkligen Dreiecks P'QR ist) den Winkel bei P' halbiert. Ferner ist der halbe Winkel bei P' gleich und Folglich ist P der Inkreismittelpunkt des Dreiecks P'BC. Ebenso ist Q Inkreismittelpunkt von Q'CA und R Inkreismittelpunkt von R'AB. Daher sind alle drei kleinen Winkel bei C gleich, ebenso die bei A und B. Dies bedeutet, dass die Winkel des Dreiecks ABC gedrittelt sind. Jeder der drei kleinen Winkel bei A beträgt Entsprechendes gilt bei B und C. Daher gilt:
, , .
Diese Werte wählen wir für die Basiswinkel unserer gleichschenkligen Dreiecke und sinnd sicher, dass unser beschriebenes Verfahren zu einem Dreieck ABC führt, das einem beliebig gegebenen Dreieck ähnlich ist. Damit ist unsere Behauptung bewiesen."

Meine Ideen:
Nun frag ich mich warum wenn ich zum Beispiel dann bin ich insgesamt bei 150° und nicht bei 120°. Verstehe nicht wie man darauf kommt. unglücklich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Den Satz von Morley beweisen
Zitat:
Original von Alice12
Nun frag ich mich warum wenn ich zum Beispiel dann bin ich insgesamt bei 150° und nicht bei 120°. Verstehe nicht wie man darauf kommt. unglücklich

Du verstehst Coxeter falsch. Er behauptet nicht, dass bei beliebigen gleichschenkligen Dreiecken über den Seiten des gleichseitigen Dreiecks immer gilt. Das wäre natürlich falsch, da hast du Recht. Er sagt, man solle solche gleichschenkligen Dreiecke errichten, bei denen das gllt. Wenn man daher gewählt hat, dann soll man wählen, damit die Summe ergibt.
 
 
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da hast du recht. Ich verstehe den nicht so gut. Ok ich verstehe. Weißt du warum das genau 120 grad sein muss? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
Weißt du warum das genau 120 grad sein muss? verwirrt

Wenn du den Beweis Punkt für Punkt durchgehst - und zwar wirklich so, dass du jeden Schritt nachvollziehen kannst - dann wirst du einige Stellen finden, wo diese Summeneigenschaft Verwendung findet.
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die letzten drei Tage versucht das zu verstehen aber ich bin nicht do weit gekommen aber schon mal etwas was ich hier besprechen kann. Also er schreibt ja das man mit kann man jetzt euch andere Winkel berechnen. Die Ecke A wird ganz knapp erklärt. Hab mit gedacht ok ich hab das Dreieck AQR und ich nenne mal den Winkel dann habe ich und wen ich das umstelle komme ich auf Ich hab jetzt eine Vermutung bin mir aber nicht sicher (siehe Bild) sind ja Nebrnwinkel und nebenwinkel ergeben ja zusammen 180 grad nach nebenwinkelsatz dann muss doch sein also hab wir insgesamt doch .
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hab vergessen die Skizze anzuhängen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
dann muss doch sein

Irgendwie gelingt es dir, die Sache auf den Kopf zu stellen. Die 3 Winkel sollen doch so gewählt werden, dass sie zusammen 120° ergeben. Also muss man das nicht beweisen. Das haben wir doch zu Anfang schon diskutiert.

Man muss allerdings etwas anderes beweisen, was Coxeter weggelassen hat, weil es einfach ist. Die Winkel sind zunächst mal definiert als die Basiswinkel der aufgesetzten gleichschenkligen Dreiecke. Coxeter hat sie aber auch an anderen Stellen eingetragen. Z. B. hat er den auch genannt. Es muss gezeigt werden, dass dieser Winkel wirklich gleich dem Winkel ist. Man sollte ihn also erst mal nennen. Wenn du nun hier

Zitat:
sind ja Nebrnwinkel und nebenwinkel ergeben ja zusammen 180 grad nach nebenwinkelsatz

durch ersetzt und benutzt, dass , dann ergibt sich .
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich wollte gar nicht beweisen das der eher wollte ich darauf kommen das der Winkel an der Ecke A weil das Argument von Coxeter war das es so ist, weil die Winkel bei Q und R und betragen. Aber danke jetzt verstehe ich auch warum der Winkel bei ARP' gleichnamig ist zu den Winkel vom gleichschenkligen Dreieck R'PQ.
Zitat:
Nach 1.51 kann man den Inkreismittelpunkt eines Dreieckes dadurch festlegen, dass er auf der Winkelhalbierenden des Winkels A so liegt, dass .
. In 1.51 steht lediglich, aus folgt . Wie kommt man darauf. verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die "Winkelsumme im Kreis" beträgt 360°.
davon zählst du die anderen 2 Winkel ab Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
In 1.51 steht lediglich, aus folgt . Wie kommt man darauf. verwirrt

Zu 1.51 gehört sicher eine Zeichnung. Betrachte dort das Dreieck BCI. Der Winkel bei B ist , der Winkel bei C . Den Winkel bei I nenne . Dann hat man



Wegen



hat man



Setze das in die erste Gleichung ein und einfache Arithmetik liefert

Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh super dankeschön. Hab das nun verstanden. Nun behauptet er:
Zitat:
Um diesese Bemerkung auf den Punkt P im Dreieck P'BC anzuwenden, bemerken wir, dass die Gerade PP' (welche Mittellinie sowohl des gleichseitigen Dreiecks PQR als auch des gleichschenkligen Dreiecks P'QR ist) den Winkel bei P' halbiert. Ferner ist der halbe Winkel bei P' gleich und


Ich muss ja begründen warum die Mittellinie von und . Kann das doch nicht einfach behaupten oder?

Hab dann rausgekriegt warum der Winkel bei ist (was einfach war smile ). Hab auch rausgekriegt wie man darauf kommt: in dem man den Nebenwinkelsatz benutzt also . Warum wurde damit dann gezeigt das der Inkreismittelpunkt vom Dreieck ist? Ich sehe schon das im Winkel aber eine gute Begründung hab ich nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
Ich muss ja begründen warum die Mittellinie von und . Kann das doch nicht einfach behaupten oder?

Man kann es ja auch begründen: Aufgrund der Gleichheit von drei Seiten sind nach Kongruenzsatz SSS die beiden Dreiecke sowie kongruent. Damit gilt u.a. auch sowie auch , somit ist Winkelhalbierende sowohl von als auch von .
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh Kongruenzsätze anwenden. geschockt Sorry für die dumme Frage aber welche Seiten sollen denn gleich sein? Ich sehe nähmlich gerade nur den Kongruenzsatz SSW. verwirrt Eine Seite wäre der Schenkel und der Winkel beim glieichschenkligen Dreieck und eine Seite des gleichseitigen Dreieck.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
. Warum wurde damit dann gezeigt das der Inkreismittelpunkt vom Dreieck ist? Ich sehe schon das im Winkel aber eine gute Begründung hab ich nicht.

Man hat nicht den Eindruck. dass du nachdenkst. Coxeter schreibt doch

Zitat:
Ferner ist der halbe Winkel bei P' gleich

Wenn das stimmt, dann ist doch und man kann Satz 1.51 benutzen. Die Behauptung von Coxeter ergibt sich durch Betrachtung des Dreicks .

Bei der Mittellinie kann man auch so argumentieren: Man errichte die Mittelsenkrechte auf . Die geht durch ', weil ' ein gleichschenkliges Dreieck ist. Sie geht durch , weil ein gleichseitiges Dreieck ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
Sorry für die dumme Frage aber welche Seiten sollen denn gleich sein?

Also wirklich, kriegst du das nicht selbst zusammen? Vielleicht behandelst du erstmal Geometrieaufgaben, die zwei Klassen einfacher sind. unglücklich

weil PQR gleichseitig, und weil gleichschenklig ist. Und Seite ist in beiden Dreiecken gleichermaßen vorhanden.
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

@HALL9000: Ich hab Sekunden nach dem post gemerkt warum SSS gilt aber SSW würde auch gehen. Vielen Dank für die Hilfe.
@Huggy: Achso das hatte ich nicht gesehen. Interessant. geschockt

Zitat:
Daher sind alle drei kleinen Winkel bei gleich, ebenso die bei und . Dies bedeutet, dass die Winkel des Dreiecks gedrittelt sind.

Ich habe hier eine Vermutung wie ich das erklären könnte aber weiß weder, ob das umständlich ist noch, ob man das machen kann.
Also wenn wir das Dreieck betrachten und hier ist ja der Inkreismittelpunkt . Da sich die Geraden und im Inkreismittelpunkt schneiden, es die beiden Winkelhalbierende sind. Denn es gibt ja den Satz: "Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt . ist außerdem der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks." Wenn das gehen würde dann könnte man sagen das die Winkelhalbierenden den Winkel in der Ecke halbiert und die Winkelhalbierende im Winkel der Ecke C den Winkel halbiert und man hat und . Wenn ich das gleiche mit dem Dreieck behaupte dann sind die Winkel und . Also ist insgesamt und das bedeutet für das Dreieck , dass der Winkel an der Ecke gedrittelt wurde.

Aber ich sehe es schon kommen. Ich kriege gleich ärger für den Gedanken. Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
@HALL9000: Ich hab Sekunden nach dem post gemerkt warum SSS gilt aber SSW würde auch gehen.

Na sagen wir SWS, das geht auch. Aber ich hatte mich nun mal für SSS entschieden, und das dann auch durchgezogen. Man muss nicht alle denkbaren Alternativvarianten diskutieren - eine genügt. Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
Aber ich sehe es schon kommen. Ich kriege gleich ärger für den Gedanken. Hammer

Wenn man den Gedanken wenigstens verstehen könnte. So etwas wie ist eine Tautologie. Das gilt immer.

Bisher hast du keinen einzigen Schritt des Beweises von Coxeter selbstständig nachvollziehen können. Also denk noch mal über diesen letzten Schritt nach. Er beruht simpel auf



Falls das geklärt ist, müssen wir noch mal Satz 1.51 diskutieren. Coxeter hat das sicher sauber gemacht. Aber nach den von dir genannten Informationen könnte da noch eine Schwachstelle sein.
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann werde ich mein Gedanken gleich nochmal erklären aber ich fange erstmal mit 1.51 an und hab dafür das Dreieck eingefügt, welches gemeint ist. Die Kritzelei im Bild gehört zu einem anderen Gedankengang.
-Also wir haben hier das Dreieck ACB. Weiter haben wir die Winkelhalbierenden die ich und nenne. Winkelhalbierenden halbieren ein Winkel nach Definition also wenn wir nur noch das Dreieck ICB betrachten, wissen wir das der Winkel bei B im Dreieck nur noch und ist, weil es ja die halbierten Winkel vom Dreieck ACB sind. Wenn wir, wie du gesagt hast, den Winkel bei BIC nennen und alle drei Winkel miteinander addieren erhalten wir . Das gilt weil die Winkelsumme eines beliebigen Dreiecks immer ist. Der Rest deiner Erklärung ist nachvollziehbar und man versteht ganz einfach wie man auf kommt. Beim Beweis vom Satz von Morley sind wir auch auf die Form gekommen und deshalb konnten wir hier 1.51 anwenden und sagen das der Inkreismittelpunkt ist, weil er auf der Winkelhalbierenden des Winkels so liegt wie behauptet.
-Nun versuche ich wieder meine Vermutung zu erklären. Wir haben ein Dreieck P'CB bei dem wir wissen das P der Inkreismittelpunkt ist. Weiter schneiden sich zwei Geraden genau im Inkreismittelpunkt. Ich will nun behaupten das diese beiden Geraden Winkelhalbierende sind im Dreieck PCB. Denn könnte ich das Behaupten dann könnte ich so argumentieren: Da alle Winkelhalbierenden einen Winkel halbiert sind die beiden Winkel gleich und es gilt . Das gilt auch für die halbierten Winkel an der Ecke C aber das ignoriere ich jetzt erstmal, damit du mein Gedankengang nachvollziehen kannst. Wenn wir nun das Dreieck nebenan Betrachten nämlich R'AB mit dem Inkreismittelpunkt R dann sehen wir wieder das zwei Geraden sich im Inkreismittelpunkt schneiden. Wenn das die Winkelhalbierenden sind dann wurden die Winkel halbiert. Betrachten wir wieder nur den Winkel . Dann haben wir . ist aber auch im Dreieck P'BC enthalten und wir hatten gesagt das . Naja wenn die gleich sind und dann gilt doch . Also ist der Winkel gedrittel worden. Analog kann man mit dem Winkel argumentieren.
Aber um aber so zu argumentieren muss man erstmal zeigen das die Geraden die sich im Inkreismittelpunkt schneiden auch wirklich Winkelhalbierende sind. Weiß aber nicht, ob man das mit diesem Satz ginge:
Zitat:
Satz: "Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt W. W ist außerdem der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks."
. Diesen Satz hab ich nämliich schon bewiesen. Ich hoffe ich habe jetzt verständlicher geschrieben. verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
Ich hoffe ich habe jetzt verständlicher geschrieben. verwirrt

Ja das hast du. Du hast dir echt Mühe gegeben. Freude Man kann deinen Beweisgang jetzt nachvollziehen und er ist korrekt. Lediglich die Winkelbezeicnungen finde ich nicht glücklich, aber das ist etwas Geschmackssache.

Ich hätte es etwas kürzer formuliert:

Da Inkreismittelpunkt des Dreiecks ist, ist die Strecke die Winkelhalbierende bei dieses Dreiecks. Daher ist . Da Inkreismittelpunkt des Dreiecks ist, ist die Strecke die Winkelhalbierende bei dieses Dreiecks. Daher ist . Also sind alle drei Winkel an der Ecke gleich und der dortige Winkel ist gedrittelt.

Zitat:
Aber um aber so zu argumentieren muss man erstmal zeigen das die Geraden die sich im Inkreismittelpunkt schneiden auch wirklich Winkelhalbierende sind. Weiß aber nicht, ob man das mit diesem Satz ginge:
Zitat:
Satz: "Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt W. W ist außerdem der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks."
. Diesen Satz hab ich nämliich schon bewiesen.

Ja das passt, wobei ich gedacht hätte, dass man diesen Satz als bekannt voraussetzen darf. Es schadet natürlich nicht, ihn noch mal zu beweisen.

Nun zu Satz 1.51. Es wurde bisher gezeigt: Wenn man in einem Dreieck auf der Winkelhalbierenden bei den Punkt so wählt, dass er der Inkreismittelpunkt ist, dann gilt



Für den Beweis des Satzes von Morley wurde aber die Umkehrung benutzt, nämlich: Wenn man in einem Dreieck auf der Winkelhalbierenden bei den Punkt so wählt, dass gilt



dann ist der Inkreismittelpunkt.

Auch diese Umkehrung gilt, muss aber bewiesen werden. Im Moment kann ich nicht erkennen, ob Coxeter darauf eingegangen ist.
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es einfacher geht dann nehme ich lieber deinen Weg. Ja stimmt das ist die Umkehrung. Achman das dann auch noch beweisen.. Dachte ich wäre endlich fertig. traurig Könntest du mir einen Tipp geben? Weil wenn ich die Gleichung nach A umstelle bzw. sagt mir das nichts und auch wenn ich das so umschreibe: wie beim Winkel weiß ich nicht warum es dann der Inkreismittelpunkt ist. Oder wie ich weiter machen soll. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nachweis ist so schwer nicht: Dass für den Inkreismittelpunkt die Winkeleigenschaft gelten muss, ist klar, oder?

Damit muss auf dem Fasskreisbogen zum Winkel über der Strecke liegen. Dieser Fasskreisbogen hat aber mit der Winkelhalbierenden (nur) genau einen Schnittpunkt, und das muss dann zwangsläufig sein.
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Hall9000. Leider bin ich nicht so gut wie du um das zu sehen. unglücklich Hab aber nach dem post bisschen gegrübelt..

Umkehrung Satz 1.51: Liegt ein Punkt X auf der Winkelhalbierenden von A und ist der Winkel BXC gleich 90 + alpha/2, dann ist X der Inkreismittelpunkt.
Beweis: Der Inkreismittelpunkt I erfüllt die gleichen beschrieben Eigenschaften wie X nach Satz 1.51. Beide liegen auf der Winkelhalbierenden von A. Ist I zwischen A und X, so ist der Winkel BXC größer als der Winkel BIC, Widerspruch, denn beide Winkel sind gleich 90 + alpha/2. Ist X zwischen A und I, so ist der Winkel BXC kleiner als BIC, erneut Widerspruch. Also folgt X=I.

Würde das auch gehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alice12
Beide liegen auf der Winkelhalbierenden von A. Ist I zwischen A und X, so ist der Winkel BXC größer als der Winkel BIC, Widerspruch, denn beide Winkel sind gleich 90 + alpha/2.

Prinzipiell richtig, aber wie begründest du dieses "größer" bzw. "kleiner" für diese Winkel? Ein Verweis auf die Anschauung reicht nicht, das sollte schon etwas fundierter sein.
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok wüsste ansonsten nicht wie. unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na z.B. durch Betrachtung der Innwinkelsumme 360° im Viereck . Augenzwinkern
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal bisschen drüber nachgedacht was du meinen könntest aber ich komme nicht drauf. Ich denke mir halt beide Innenwinkel der Vierecke BXCI und BICX sind doch . Welchen zusammenhang das mit dem größer und dem kleiner hat weiß ich nicht. verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nun wieder echt traurig. Das ist doch simple Arithmetik. Sei zunächst zwischen und gelegen. Dann soll der Innenwinkel bei des Vierecks mit bezeichnet werden, weil er das Komplement von im Dreieck ist. Jetzt hat man



Da von etwas größer Null abgezogen wird, muss kleiner sein als .
Alice12 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für die Hilfe. smile
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