Den Satz von Morley beweisen

11.08.2018, 22:37

Alice12

Den Satz von Morley beweisen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an meiner Seminararbeit und versuche gerade den Beweis des Satzes von Morley zu verstehen aber in Buch von H.S.M. Coxeter, "Unvergängliche Geometrie" bereitet mir die Argumentation an einigen stellen Probleme.
Im Buch steht das:
"Die drei Schnittpunkte der drei anliegenden Winkeldreiteilende eines beliebigen Dreiecks bilden ein gleichseitiges Dreieck. Mit anderen Worten: Jedes Dreieck ABC bestimmt ein gleichseitiges Dreieck PQR , wenn die Winkel A, B und C gedrittelt werden durch AQ und AR, BR und BP, CP und CQ, wie in Figur 1.9a. (Es wird sehr umständlich wenn man einen direkten Beweis zu geben versucht, jedoch verschwinden die Schwierigkeiten, wenn man mit einem gleichseitigen Dreieck beginnt und das allgemeine Dreieck darauf aufbaut, das dann als das gegebene Dreieck ABC angesehenen wird.) Errichte über den Seiten QR, RP und PQ eines gleichseitigen Dreiecks die gleichseitigen Dreiecks die gleichschenkligen Dreiecke P'QR, Q'RP, R'PQ, deren Basiswinkel
$\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta ,\gamma \end{eqnarray*}$ den Beziehungen genügen $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma=120° \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha<60°,\beta<60°, \gamma<60° \end{eqnarray*}$ .
Verlängern Sie die Schenkel dieser gleichschenkligen Dreiecke über die Basis hinaus bis sie sich in den Punkten A, B und C schneiden. Da $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma+60°=180° \end{eqnarray*}$ ist, können wir in Figur 1.9a die Größe einiger anderer Winkel angeben; z.B. hat das Dreieck AQR bei der Ecke A den Winkel $\begin{eqnarray*} 60°- \alpha \end{eqnarray*}$ , da bei Q und R die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma +\alpha \end{eqnarray*}$ betragen. Nach 1.51 kann man den Inkreismittelpunkt eines Dreieckes dadirch festlegen, dass er auf der Winkelhalbierenden des Winkels A so liegt, dass $\begin{eqnarray*} \sphericalangle BIC=90°+\frac{1}{2}A. \end{eqnarray*}$ Um diesese Bemerkung auf den Punkt P im Dreieck P'BC anzuwenden, bemerken wir, dass die Gerade PP' (welche MIttellinie sowohl des gleichseitigen Dreiecks PQR als auch des gleichschenkligen Dreiecks P'QR ist) den Winkel bei P' halbiert. Ferner ist der halbe Winkel bei P' gleich $\begin{eqnarray*} 90°-\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sphericalangle BPC= 180°-\alpha =90°+(90°-\alpha). \end{eqnarray*}$ Folglich ist P der Inkreismittelpunkt des Dreiecks P'BC. Ebenso ist Q Inkreismittelpunkt von Q'CA und R Inkreismittelpunkt von R'AB. Daher sind alle drei kleinen Winkel bei C gleich, ebenso die bei A und B. Dies bedeutet, dass die Winkel des Dreiecks ABC gedrittelt sind. Jeder der drei kleinen Winkel bei A beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}A=60°-\alpha. \end{eqnarray*}$ Entsprechendes gilt bei B und C. Daher gilt:
$\begin{eqnarray*} \alpha =60°-\frac{1}{3}A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta =60°-\frac{1}{3}B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \gamma =60°-\frac{1}{3}C \end{eqnarray*}$ .
Diese Werte wählen wir für die Basiswinkel unserer gleichschenkligen Dreiecke und sinnd sicher, dass unser beschriebenes Verfahren zu einem Dreieck ABC führt, das einem beliebig gegebenen Dreieck ähnlich ist. Damit ist unsere Behauptung bewiesen."

Meine Ideen:
Nun frag ich mich warum $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta +\gamma =120°, \alpha <60°,\beta <60°,\gamma <60° \end{eqnarray*}$ wenn ich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta +\gamma =120°, \alpha=50°,\beta =55°,\gamma= 45° \end{eqnarray*}$ dann bin ich insgesamt bei 150° und nicht bei 120°. Verstehe nicht wie man darauf kommt. unglücklich

12.08.2018, 09:50

Huggy

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