Tangente an den Schnittkreis einer Kugel

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unischlaf Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente an den Schnittkreis einer Kugel
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem das ich bisher nur konstruktiv im CAD gelöst habe, nun aber auch gerne analytisch berechnen möchte.

Ich habe einen Punkt A und möchte die Tangente zu einem um die x-Achse gewinktelten Kreis bestimmen. Der Punkt A befindet sich in der Ebene in der auch der gekippte Kreis liegt. Die Kippachse verläuft parallel zur x-Achse durch den Punkt B womit sich die Geradengleichung der Kippachse wie folgt ergibt: .

Meine Ideen:
Mit der Geradengleichung und dem Punkt A kann ich die Ebene bestimmen, die den Punkt A mit der Kippachse verbindet und in der sich die gesuchte Tangente sowie der Kreis befinden muss: .
Der Winkel zwischen der gekippten Ebene und der xz-Ebenen beträgt 1,97° und der Mittelpunkt des Kreises auf der gekippten Ebene lautet somit M . Der Radius dieses Kreises ist 2.

Soweit so gut. Jetzt fehlt mir allerdings der Ansatz die Tangente zu ermitteln, die durch den Punkt A geht, in der Ebene E liegt und den Kreis um M mit dem Radius 2 berührt. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »

Da Du die Kreisebene hast, unischlaf, kannst Du die Senkrechte Ebene auf dem Radius (=A-M) durch A bilden und mit der Kreisebene E schneiden, oder?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ isi1
Du scheinst davon auszugehen, daß auf dem Kreis liegt.

@ unischlaf

Dein Problem ist nicht eindeutig beschrieben. Für dich mag klar sein, was zum Beispiel "Kippachse" bedeutet, andern ist das nicht klar. Es wäre hilfreich gewesen, wenn du die Ausgangslage des Kreises und den Kippvorgang beschrieben hättest, dann könnte man auch deine Daten verifizieren und dir weiterhelfen. So viel habe ich verstanden: Wir haben eine Ebene , in der sowohl der Punkt als auch der "gekippte" Kreis liegen. Aus deinen Daten entnehme ich, daß die Ebene die Koordinatengleichung



besitzt (damit läßt sich einfacher rechnen als mit der von dir angegebenen Parameterdarstellung). Das paßt auch zusammen mit deinem Winkel , den diese Ebene mit der -Ebene bildet. schneidet die - und die -Achse nämlich in den Punkten beziehungsweise . Daraus erhält man





Was ich mir nicht erklären kann, ist, wie du auf den Mittelpunkt des Kreises kommst. Da muß auch ein Fehler drin stecken, denn Nachrechnen zeigt, daß dein gar nicht in liegt. Vielleicht hast du auch nur einen Vorzeichenfehler gemacht, denn bis auf Rundungsfehler würde es mit passen. Könntest du erklären, wie dieses entsteht? Wo lag der Mittelpunkt des Kreises vor dem "Kippen"?

Da sich alles in abspielt, würde ich in dieser Ebene ein kartesisches Koordinatensystem einführen. Es bietet sich folgendes an: macht man zum Ursprung, die erste Achse läßt man in Richtung von



laufen, die zweite in Richtung von



Die Vektoren sind orthogonale Einheitsvektoren und spannen auf. Jeder Punkt von besitzt daher eine eindeutige Darstellung



Man kann als die kartesischen Koordinaten des Punktes auffassen. Der Kreis vom Radius 2 besitzt in diesen Koordinaten die Gleichung



Jetzt mußt du dir die neuen Koordinaten von besorgen:



Berechne aus dieser Gleichung. Jetzt kannst du die Gleichung einer beliebigen Geraden in , die durch geht, angeben (Ausnahmen sind die zu parallelen Geraden):



(In einem -Koordinatensystem würde man schreiben. Man nennt das die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden, ist die Steigung und ein fester Geradenpunkt.)

Jetzt setze aus in die Kreisgleichung oben ein. Du erhältst eine quadratische Gleichung in . Diese darf nur eine Lösung besitzen, wenn eine Tangente sein soll. Bestimme daher die Diskriminante dieser Gleichung und setze sie gleich 0. Das sollte jetzt auf eine quadratische Gleichung in hinauslaufen. Die Lösungen dieser Gleichung sind die gesuchten -Werte in der Gleichung für .
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