Matrixelemente bestimmen

12.08.2018, 15:30	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixelemente bestimmen Guten Tag zusammen, sei $\begin{align} B=(e_i)_{i=1}^n \end{align}$ die Basis von $\begin{align} \mathbb{C}^n \end{align}$ , $\begin{align} \rho \end{align}$ eine Darstellung der zyklischen Gruppe $\begin{align} C_n \end{align}$ (der Erzeuger sei $\begin{align} g \end{align}$ ) auf $\begin{align} \mathbb{C}^n \end{align}$ , definiert über $\begin{align} \rho(g)e_i=e_{i+1 {\hspace{0.2cm}\rm mod}\hspace{0.2cm} n} \end{align}$ . Im Folgenden verzichte ich auf das $\begin{align} \rm mod \end{align}$ der Übersicht halber. Die Aufgabe ist es die Form der Elemente von $\begin{align} \{A:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n : A\rho(g)=\rho(g)A\text{ für }g\in C_n\} \end{align}$ zu bestimmen. Mein Ansatz war $\begin{align} (A\rho(g))_{ij}\overset{!}{=}(\rho(g)A)_{ij} \end{align}$ , was dann mittels $\begin{align} (A\rho(g))_{ij}= \sum_{k=1}^nA_{ik}\rho(g)_{kj}= \sum_{k=1}^nA_{ik}(\rho(g)e_k)_j=\sum_{k=1}^nA_{ik}(e_{k+1})_j = \sum_{k=1}^nA_{ik}\delta_j^{k+1}= A_{i,j-1} \end{align}$ ergibt. Eine analoge Rechung liefert $\begin{align} (\rho(g)A)_{ij} = A_{i+1,j} \end{align}$ , was also schlussendlich zu $\begin{align} A_{i+1,j}=A_{i,j-1} \end{align}$ führt. Könnte mir jemand sagen, ob diese Rechnung so funktioniert? Ich bin mir etwas unsicher bei $\begin{align} \rho(g)_{kj}=(\rho(g)e_k)_j=(e_{k+1})_j=\delta_j^{k+1} \end{align}$ -------- EDIT: Ok, jetzt bin ich mir ziemlich sicher, dass es falsch ist... Es sollte wohl $\begin{align} \rho(g)_{kj}=(\rho(g)e_j)_k = \delta_k^{j+1} \end{align}$ sein... Wäre trotzdem schön, wenn das jemand noch bestätigen könnte.. Gruss Sito

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