Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters

14.08.2018, 11:22

Stealth

Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters

Hallo, ich habe eine Frage zu einer Klausuraufgabe.

Das LGS lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & \alpha \\ 0 & 1-\alpha & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2\alpha -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie mittels Rangkriterium in Abhängigkeit von alpha, wann das lineare Gleichungssystem A~x = ~b keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat. Bringen Sie hierzu zunächst die erweiterte Matrix (A|~b) mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in Zeilenstufenform.

Meine Matrix in Zeilenstufenform, nach addition von 2ter mit 3ter Zeile: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & \alpha \\ 0 & 0 & \alpha+1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
mit der Lösung: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2\alpha -1 \\ 2*\alpha+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun wende ich die Rangkriterien an, bekomme aber für keine Lösung und unendlich Lösungen jeweils alpha = -1 heraus,

keine Lösung, falls Rg(A) < Rg (A| b )
genau eine Lösung, falls Rg(A) = Rg (A| b ) = n
unendlich viele Lösungen, falls Rg(A) = Rg (A| b ) < n

Hätte jemand mal die Lösung für mich um zu vergleichen?

14.08.2018, 11:33

klarsoweit

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters
Zunächst müssen wir erst mal offene Fragen klären:

Zitat:

Original von Stealth
Die Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2\alpha -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt keine Menge, sondern bestenfalls ein Vektor. Und von was soll das nun eine Lösung sein?

Und wie soll der Vektor b, also die rechte Seite des Gleichungssystems aussehen?

15.08.2018, 13:05

Stealth

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters
Hallo klarsoweit, der Vektor, der von mir fälschlicherweise als Lösungsmenge betitelt wurde, ist die Lösung des Gleichungssystems (b = {2, 2alpha-1, 3}), welche in meinem Beitrag direkt darüber zu finden ist. Ich habe meine Probleme mit der Latex-Formatierung, bitte sieh mir das nach.

Ich habe es anschaulicher als Bild angefügt. [attach]47899[/attach]

15.08.2018, 14:26

klarsoweit

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters
Mit Latex sieht die Matrix so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & \alpha - 1 & \alpha & 2 \alpha -1 \\ 0 & 1- \alpha & 1 & 3 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Stealth
Nun wende ich die Rangkriterien an, bekomme aber für keine Lösung und unendlich Lösungen jeweils alpha = -1 heraus,

Vielleicht formulierst du noch einmal genauer, in welchem Fall du welche Lösungen bekommst.

18.08.2018, 09:19

Stealth

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters
eine Lösung für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ -1 und a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 1
, da a+1 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und 2a+2 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

unendlich Lösungen für a =-1 und a =1
,da a+1= 0 und 2a+2= 0

keine Lösung für a =-1 und a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ -1
,da a+1= 0 und 2a+2 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

18.08.2018, 12:14

trara

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters
Hallo
wie kommst du für a=1 auf a+1=0?
du musst die 2 Fälle a=-1 und a=+1 deutlich unterscheiden
a=+1 keine Lösung!
a=-1 unendlich viele ist zwar richtig, aber du solltest es besser mit dem Rang der Matrix und der erweiterten begründen, als mit der Kurzform a+1=2a+2=0
Gruß trara

18.08.2018, 13:09

Stealth

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters
Hi, danke für deine Antwort.

Wieso für a=1 keine Lösung? Ich schaffe es doch gar nicht den Rang nur von A auf 2 zu bekommen, das geht nur bei a=-1 aber dann wäre der Rang bei b auch 2.[attach]47910[/attach]

20.08.2018, 08:50

klarsoweit

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RE: Lösungen des LGS in Abhängigkeit eines Parameters

Zitat:

Original von Stealth
Wieso für a=1 keine Lösung?

Mit einem Blick in die ursprüngliche Matrix erhältst du
- aus der 2. Zeile die Gleichung x_3 = 1
- aus der 3. Zeile die Gleichung x_3 = 3
Daraus ergibt sich sofort der Widerspruch. Zu dem gleichen Ergebnis kommst du, wenn du für alpha=1 den Rang der Matrix A sowie den Rang der erweiterten Matrix (A|b) betrachtest.

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