Grenzwert eines Imaginärteils

15.08.2018, 10:06	Lorentz	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert eines Imaginärteils Hi an alle, sei $\begin{eqnarray} g(x) := \frac{x^2-i\epsilon}{x^4+\epsilon^2}\cdot f(x) \end{eqnarray}$ mit einer komplexen Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ . Wenn ich nun $\begin{eqnarray} \lim_{\epsilon\to 0}\text{Im}\,g(x) \end{eqnarray}$ berechnen möchte, frage ich mich, ob ich Folgendes machen kann: $\begin{eqnarray} \lim_{\epsilon\to 0}\text{Im}\,g(x) = \lim_{\epsilon\to 0} \text{Im}\left[ \frac{x^2-i\epsilon}{x^4+\epsilon^2}\cdot f(x) \right] \overset{?}{=} \text{Im}\left[ \lim_{\epsilon\to0}\frac{x^2-i\epsilon}{x^4+\epsilon^2}\cdot f(x) \right] \end{eqnarray}$ Soweit ich weiß, ist der Limes des Imaginärteils nur dann der Imaginärteil des Limes, wenn die Funktion (hier $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ ) stetig ist bei (hier) $\begin{eqnarray} \epsilon = 0 \end{eqnarray}$ . Ich bin mir nicht sicher, ob das hier der Fall ist, denn $\begin{eqnarray} \lim_{\epsilon\to 0} g(x) = \frac{f(x)}{x^2} \end{eqnarray}$ würde bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ divergieren, wenn $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ das nicht auf irgendeine Weise verhindert, salopp gesagt. Kann mir jemand sagen, ob $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} \epsilon = 0 \end{eqnarray}$ stetig ist und ich demnach den Imaginärteil des Grenzwerts nehmen kann oder ob es wirklich auf $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ankommt?

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