Experimentell erzeugter Kreisbogen, wie Radius bestimmen?

16.08.2018, 12:24

975318642

Experimentell erzeugter Kreisbogen, wie Radius bestimmen?

Meine Frage:
Guten Tag!

Ich möchte Experimente durchführen, bei denen ich erwarte, dass abhängig von variablen Parametern meines Aufbaus Kreisbögen unterschiedlicher, konstanter Radien entstehen.
Anschließend möchte ich die Kreisbögen untersuchen um einen Zusammenhang zwischen den Parametern und den (Krümmungs)Radien der Bögen herzustellen.
Da die Bögen experimentell erzeugt werden, sind zunächst alle geometrischen Größen, die für gewöhnlich zur Berechnung des Radius herangezogen werden (Bogen- oder Sehnenlänge, Mittelpunktswinkel etc.) unbekannt.

Meine Ideen:
Da die Experimente unter der vereinfachten Annahme rein zweidimensionaler Bewegung durchgeführt werden sollen, wären die kartesische Koordinate des Bogen"endpunkts" relativ zum Bogen"startpunkt" und mit ihrer Hilfe, sowie des Satz von Pythagoras, sicherlich auch die Bogensehne mit hinreichender Genauigkeit bestimmbar. Blieben jedoch immernoch drei Unbekannte (Bogenlänge, Mittelpunktswinkel und gesuchter Radius) in den zwei mir bekannten Formeln für Kreisbögen $\begin{eqnarray*} b=\pi\cdot r\cdot \frac{\alpha}{180°}=2\cdot \pi\cdot r\cdot \frac{\alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ und Kreissehnen $\begin{eqnarray*} l=2\cdot r\cdot \sin(\frac{b}{2\cdot r})=2\cdot r\cdot sin(\frac{\alpha }{2}) \end{eqnarray*}$ .
Gemäß folgendem Link könnte ich zusätzlich die Höhe des kleinen Bogensegments a bestimmen, jedoch hätte ich somit schon die zweite von einem menschlichen Messfehler beeinflusste Größe.
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreissehnen.htm
Gibt es einen mathematisch eleganteren Weg um die von mir benötigten Größen aus nur einer abgelesenen Größe zu bestimmen?

Vielen Dank!

16.08.2018, 13:21

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Experimentell erzeugter Kreisbogen, wie Radius bestimmen?

Zitat:

Original von 975318642
Gibt es einen mathematisch eleganteren Weg um die von mir benötigten Größen aus nur einer abgelesenen Größe zu bestimmen?

Den gibt es nicht, weil die Daten eines Kreisbogens (Mittelpunkt und Radius) nun mal nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt (also der Sehne) abhängen. Zu einer gegebenen Sehne gibt es unendlich viele passende Kreisbögen. Errichte auf der Sehne die Mittelsenkrechte. Dann kann man jeden beliebigen Punkt der Mittelsenkrechten als Mittelpunkt des Kreises wählen und erhält dann einen dazugehörigen Radius.

Man braucht mindestens einen weiteren Punkt des Kreisbogens. Wenn die Daten fehlerbehaftet sind, ist es nützlich, möglichst viele Daten zu benutzen. Die einzelnen Fehler kompensieren sich im statistischen Mittel um so besser, je mehr Daten man benutzt.

16.08.2018, 13:22

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Experimentell erzeugter Kreisbogen, wie Radius bestimmen?

Zitat:

Original von 975318642
Gemäß folgendem Link könnte ich zusätzlich die Höhe des kleinen Bogensegments a bestimmen, jedoch hätte ich somit schon die zweite von einem menschlichen Messfehler beeinflusste Größe.

Anders wird es aber nicht gehen.
Nur aus dem Anfangs- und Endpunkt alleine kann man den Radius nicht bestimmen.

16.08.2018, 13:35

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem freien Programm GeoGebra kannst du einmal das Szenario (d.h. deine Experimente) sehr schön interaktiv durchspielen ...
Ist dir dieses Programm bekannt bzw. kannst du dieses anwenden?

[attach]47901[/attach]

Hier ist A fest und der Endpunkt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ des Bogens sowie der Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ können frei gewählt werden.

Im zweiten Bild ist bei gegebener Fläche des Segmentes und dem Radius die Sehne $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , die Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Überdies eignet sich auch Excel (mit seinem Solver) gut dafür.

[attach]47900[/attach]

mY+

16.08.2018, 14:46

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Je nach Art des Kreisbogens könnte es genauer sein, die Bögen zu fotografieren und dann manuell mit Kreisen anzufitten, also durch Kontrolle mit dem menschlichen Auge.

17.08.2018, 00:54

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]47904[/attach]

In diesem Szenario ist die Sehne AB fest vorgegeben und der Mittelpunkt wandert auf der Streckensymmetralen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von AB

Dabei ergeben sich jeweils die drei Größen $\begin{eqnarray*} r, h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

mY+

17.08.2018, 08:22

975318642

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen und vielen Dank für die rege Beteiligung!

Tatsächlich stelle ich mir die Durchführung der Versuche und die dabei entstehenden Kreisbögen so vor, dass deren Startpunkte gedanklich alle auf dem gleichen Punkt der Abszisse liegen, also den globalen horizontalen Maximalwert des jeweiligen Kreises darstellen, und sich von diesem aus ausschließlich mathematisch positiv oder negativ krümmen ohne (bzw. um maximal) die 90° des Mittelpunktswinkel zu erreichen und "lediglich" den Radius/die Größe eines fiktiven Kreises vorgeben.
Machen es diese Einschränkungen leichter?

Grafisch ausgewertet quasi wie in den folgenden Bildern - aus den Kreisbögen in 1 mache die Kreise in 2 und leite dabei (näherungsweise) die Krümmungsradien ab.

Neue Frage »

Antworten »

Experimentell erzeugter Kreisbogen, wie Radius bestimmen?

Verwandte Themen