Ungenauigkeit eines Schnittpunktes |
| 19.08.2018, 23:07 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ungenauigkeit eines Schnittpunktes Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich folgendes Problem lösen kann: Ich habe 2 Funktionen, die ich über Regression ermittelt habe. (ursprünglich hatte ich nur Koordinatenpunkte) Ich habe mir jeweils ein Polynom 4 Ordnung ausgeben lassen. Diese beiden Funktionen schneiden sich an einem Punkt. Ich wollte die Unsicherheit dieses Schnittpunktes ermitteln. Das Programm, welches mir das Polynom ermittelt hat, gab mir auch gleichzeitig die Summe der Quadratabweichungen an. (sq1(x) und sq2(x)) Laut Wiki stellt dies zugleich die Unsicherheit dar. Ist es dann richtig, dass ich einfach über die Unsicherheitsfortplanzung U die Unsicherheit des Schnittpunktes angeben kann? Danke für jeden Tipp! |
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| 20.08.2018, 12:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst vielleicht "in einem Punkt in einem vorgegebenen Intervall", denn auf ganz wird das eher nicht so sein: Die Leitkoeffizienten beider Polynome vierten Grades werden i.a. verschieden sein, so dass die Differenz beider Funktionen ebenfalls eine Polynomfunktion vierten Grades ist, deren Nullstellen gerade die Schnittpunktabszissen der beiden Ausgangsfunktionen sind. Nun hat eine reelle Polynomfunktion i.a. aber 0, 2 oder 4 reelle Nullstellen. Genau eine Nullstelle kommt nur dann vor, wenn sie gleichzeitig Berührpunkt, d.h. mehrfache Nullstelle ist. Es wäre schon ein ausgesprochener Zufall, wenn die Datenlage zur Generierung der beiden Regressionsfunktionen genau diesen Sonderfall ergeben würde... |
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| 20.08.2018, 16:35 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK.....anders formuliert: Diese beiden Polynome haben einen gemeinsamen Punkt. An welcher Stelle jedes Polynom die Abzisse oder die Ordinate schneidet ist irrelevant. Ich möchte nur wissen, wie es sich mit der Ungenauigkeit des Punktes verhält, durch den die beiden Polynome laufen. |
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| 20.08.2018, 16:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie hast du mich nicht richtig verstanden: Ich habe von den Nullstellen des Differenzpolynoms (!) gesprochen, die den Schnittpunkten (genauer gesagt deren x-Koordinaten, nennt man auch Abszissen) deiner beiden Polynome entsprechen. Von Schnittpunkten deiner Polynomfunktionen mit den Koordinatenachsen habe ich an keiner Stelle gesprochen. 
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| 20.08.2018, 16:49 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, du hast Recht, ich habe dich falsch verstanden. Verzeihung. |
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| 20.08.2018, 17:02 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Differnezpolynom hat nur eine Nullstelle. Wie kann ich Aussagen über die Genauigkeit dieser Nullstelle machen? |
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| 20.08.2018, 17:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin hartnäckig: Nenne mir doch mal ein konkretes Beispiel, d.h. zwei solche Polynomfunktionen vierten Grades, die du durch solche Regressionen ermittelt hast und die (vermeintlich) nur genau einen Schnittpunkt haben. |
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| 20.08.2018, 17:05 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
f_1(x) = 0.38410484*x**4 - 0.7629291145*x**3 + 0.6295306181*x**2 - 0.4962548145*x + 0.6583617295 f_2(x) = 0.57479048*x**4 - 1.300232056*x**3 + 1.049894202*x**2 - 0.5095544158*x + 0.6578528419 |
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| 20.08.2018, 17:06 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diese Polynome sind für mich so wie so nur im Intervall [0,1] relevant. |
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| 20.08.2018, 17:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die beiden zugehörigen Funktionsgraphen haben zwei Schnittpunkte, die ungefähr bei sowie liegen,
Derart in die Ecke gedrängt kommt nun doch endlich die Bestätigung für meine Vermutung
Hätte auch schneller gehen können, oder? 
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| 20.08.2018, 17:18 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
.......hast recht. 
Mein Fehler....... Wobei.....spielt denn die Anzahl der Schnittpunkte (bzw. Nullstellen des Differenzpolynom) ein Rolle für dessen Unsicherheit? |
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| 20.08.2018, 17:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na es sollte doch erstmal klar sein, über welche Schnittpunkte wir hier reden. Und wenn die nicht eindeutig sind, haben wir doch ein Problem der Zuordnung, oder nicht? Jedenfalls spielt m.E. für die Positionsschwankung des Schnittpunkts nicht nur eine Rolle, wie genau die Polynome ihre Datensätze approximieren, sondern auch, wie sie sich schneiden! Damit meine ich z.B., in welchem Winkel: Bei einem sehr, sehr flachen Schnittwinkel bewirken bereits kleinste Veränderungen der Polynome eine große Positionsänderung des Schnittpunktes. 
D.h., allein mit sq1(x) und sq2(x) wird man nicht viel bewerkstelligen können.
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| 20.08.2018, 17:40 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kannst du mir Hinweise geben, wie ich eine Abschätzung über die Genauigkeit machen kann? Bzw. wie ich die Unsicherheit eingrenzen kann? |
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| 20.08.2018, 17:48 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man sollte sich erst mal über die grundsätzliche Problematik der Frage klar werden. Dazu kann man den Fall betrachten, dass man die Daten durch 2 lineare Funktionen beschreiben kann oder möchte. Man erhält 2 Regressionsgeraden Deren Schnittpunkt ist bezüglich beider Werte unsicher. Man kann nun Unsicherheiten der Regressionskoeffizienten angeben. Es ist aber schwierig, daraus eine Unsicherheit der Schnittpunktkoordinaten zu gewinnen, jedenfalls für mich. Vielleicht kann HAL das. Bei einer Regression mit Polynomen höheren Grades wird das noch schwieriger. |
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| 20.08.2018, 17:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nö, kann ich auch nicht. Aber das erstmal an Geraden durchzudenken, ist auf jeden Fall eine gute Idee. Der von mir angesprochene Effekt eines flachen Schnittwinkels entspricht hier dann . Was auf jeden Fall drin ist: Nimm deine Ausgangsdaten und "simuliere". D.h. mach Versuche, jeder einzelne nach folgendem Schema: "Verwackle" z.B. mit Normalverteilung deine Ausgangsdaten, bestimme jeweils Regressionsfunktionen und Schnittpunkt. Anschließend kannst du ja eine Statistik über die N-Stichprobe der Schnittpunktkoordinaten anfertigen. |
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| 20.08.2018, 18:05 | Queiser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ähnliches hatte ich mir auch überlegt. Ich wollte die erhaltenen Polynome jeweils in alle Richtungen um die Größe des angegebene Fehlerquadrates verschieben, so dass 4 Schnittpunkte entstehen. ...und dann einfach schauen, welcher Schnittpunkt am weitesten vom ursprünglichen Schnittpunkt entfernt ist.... ....ich brauchte nur etwas moralischen Rückenwind..... |
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