Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

20.08.2018, 08:51

Pippen

Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Ich lese gerade o.g. Buch (öffentlich zugänglich: http://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1) und werde hier immer mal wieder Verständnisfragen daraus stellen.

Ich beginne mit einer Behauptung Deisers, dass nämlich die Menge {a1,a2,...,a_n} geschrieben werden kann als {x | a1 oder a2 oder ... a_n}. Ist die Disjunktion nicht falsch? Denn wir wollen ja eine Menge haben, die auch wirklich alle a1, a2 bis a_n drinhat und das garantiert nur die Konjunktion aller a_n.

20.08.2018, 09:02

G200818

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Es ist wohl dieses ODER gemeint:
"Die nicht-ausschließende Disjunktion (Alternative, Adjunktion, inklusives Oder, OR) „A oder B (oder beides)“ sagt aus, dass mindestens eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist. Sie ist also nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind."

20.08.2018, 09:12

Elvis

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Deiser hat recht, z.B. $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\}=\{1\}\cup\{2\}\cup\{3\}=\{x\in \mathbb N|x=1\vee x=2\vee x=3 \}\ne \{x\in\mathbb N|x=1\wedge x=2 \wedge x=3\}=\{1\}\cap\{2\}\cap\{3\}=\emptyset \end{eqnarray*}$
Zitiere bitte bei deinen Frage einigermaßen vollständig. Verstümmelte und entstellende Zitate sind nicht sehr hilfreich.

20.08.2018, 11:23

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Der beschreibende Angabe ist so definiert:
$\begin{eqnarray*} a\in \{x\mid P(x)\} :\Longleftrightarrow P(a). \end{eqnarray*}$
Sei nun z.B. $\begin{eqnarray*} M:=\{x\mid x=1\lor x=2\}. \end{eqnarray*}$
Dann ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} a\in M\iff a=1\lor a=2 \end{eqnarray*}$
Der Ausdruck auf der rechten Seite ist aber genau für $\begin{eqnarray*} a\in\{1,2\} \end{eqnarray*}$ wahr.

Oder alternativ:
$\begin{eqnarray*} &&\{x\mid x=1\lor x=2\} = \{x\mid x\in\{u\mid u=1\}\lor x\in\{u\mid u=2\}\}<br /> &&= \{x\mid x\in\{1\}\lor x\in\{2\}\} = \{1\}\cup\{2\} = \{1,2\}. \end{eqnarray*}$

20.08.2018, 15:22

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\}=\{1\}\cup\{2\}\cup\{3\}=\{x\in \mathbb N|x=1\vee x=2\vee x=3 \} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \{x\in \mathbb N|x=1\vee x=2\vee x=3 \} \end{eqnarray*}$ folgen die Mengen: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2,3}, {1, 2, 3}. Alle diese ungleichen Mengen ergeben sich aus der vorstehenden Definition, die damit für {1, 2, 3} völlig unbrauchbar wäre. Die Menge {1, 2, 3} wird nur durch {x | x = 1 & x = 2 & x = 3} korrekt und präzise definiert. Das gleiche Problem habe ich, wenn die Mengen {1,2} und {3,4} vereinigt werden, denn dazu wird auch disjunktiert, so wie es Elvis vorschlägt. Aber eigentlich will man doch eine neue Menge mit 1 und 2 und 3 und 4.

20.08.2018, 16:05

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Da hast du einen Denkfehler. Sei A={1,2}, sei B={3,4} und $\begin{eqnarray*} M=A\cup B \end{eqnarray*}$ . Deine Überlegung in korrekt formulierter Form lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 1\in M\land 2\in M\land 3\in M\land 4\in M. \end{eqnarray*}$
Das ist eine wahre Aussage, aber M wird dadurch nicht vollständig charakterisiert (d.h. eindeutig festgelegt).

Trotzdem gilt aber
$\begin{eqnarray*} M=\{x\mid x=1\lor x=2\lor x=3\lor x=4\} \end{eqnarray*}$
und allgemein
$\begin{eqnarray*} A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}. \end{eqnarray*}$

Einsetzen von M in $\begin{eqnarray*} 1\in M \end{eqnarray*}$ bringt z.B.
$\begin{eqnarray*} 1\in\{x\mid x=1\lor x=2\lor x=3\lor x=4\} \end{eqnarray*}$
und somit
$\begin{eqnarray*} 1=1\lor 1=2\lor 1=3\lor 1=4. \end{eqnarray*}$
Immer wenn du genau eine der Zahlen {1,2,3,4} einsetzt, ist eine der Gleichungen und damit die Disjunktion erfüllt.

20.08.2018, 16:09

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Edit: Ich meinte folgendes:
Immer genau dann, wenn du eine der Zahlen {1,2,3,4} einsetzt, ist eine der Gleichungen und damit die Disjunktion erfüllt.

20.08.2018, 16:18

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Man kann es auch so formuileren:
$\begin{eqnarray*} M = \{x\mid \exists y(y\in\{1,2,3,4\}\land y=x)\}. \end{eqnarray*}$

20.08.2018, 16:30

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Set-builder notation ist sogar in Programmiersprachen implementiert. Z.B. in Python:

code:
1: 2: 3: 4:	M = {x for x in range(0,100) if x==1 or x==2 or x==3 or x==4} print(M)

Ausgabe:
{1, 2, 3, 4}

20.08.2018, 16:30

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Finn_
Da hast du einen Denkfehler. Sei A={1,2}, sei B={3,4} und $\begin{eqnarray*} M=A\cup B \end{eqnarray*}$ . Deine Überlegung in korrekt formulierter Form lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 1\in M\land 2\in M\land 3\in M\land 4\in M. \end{eqnarray*}$
Das ist eine wahre Aussage, aber M wird dadurch nicht vollständig charakterisiert (d.h. eindeutig festgelegt).

Trotzdem gilt aber
$\begin{eqnarray*} M=\{x\mid x=1\lor x=2\lor x=3\lor x=4\} \end{eqnarray*}$
und allgemein
$\begin{eqnarray*} A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}. \end{eqnarray*}$

So wie du die Vereinigungsmenge durch Disjunktionen definierst, gilt:

$\begin{eqnarray*} M=A\cup B \end{eqnarray*}$ = {1, 2, 3, 4}
$\begin{eqnarray*} M=A\cup B \end{eqnarray*}$ = {1}
$\begin{eqnarray*} M=A\cup B \end{eqnarray*}$ = {2, 3}
...

Deine Definition würde nebeneinander ungleiche Mengen hervorbringen, sie wäre mehrdeutig. Man wüßte weder welche Menge du konkret meinst noch könnte man das Gleichheitszeichen als solches interpretieren, weil dann zB {1} = {2, 3} sein müßte, was offensichtlich falsch wäre. Mit meiner Version wäre $\begin{eqnarray*} M=A\cup B \end{eqnarray*}$ = {1, 2, 3, 4} und nichts anderes und genau das meinen wir doch auch, wenn wir A und B vereinigen, oder nicht? Und dennoch machen es die Mathematiker so wie du schreibst, was gerade so verstörend ist, weil es einen grundsätzlichen Denkfehler meinerseits nahelegt.

20.08.2018, 16:38

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Finn_
Set-builder notation ist sogar in Programmiersprachen implementiert. Z.B. in Python:

code:
1: 2: 3: 4:	M = {x for x in range(0,100) if x==1 or x==2 or x==3 or x==4} print(M)

Ausgabe:
{1, 2, 3, 4}

Wieso gibt Python hier nicht auch zB {1} aus? Die Menge würde o.g. Anweisung doch genauso erfüllen! Genau da hakt's bei mir.

20.08.2018, 16:40

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Bei $\begin{eqnarray*} {x\mid P(x)} \end{eqnarray*}$ ist P ein Prädikat. Dieses ist nicht dazu da, Dinge wie Bauklötzer zusammenzulegen, sondern Elemente aus einer größeren Menge (aus dem Diskursuniversum, wenn nichts angegeben ist) auszufiltern. Das Prädikat ist quasi die Indikatorfunktion für die Menge, die es beschreibt.

20.08.2018, 16:51

Huggy

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Pippen
Und dennoch machen es die Mathematiker so wie du schreibst, was gerade so verstörend ist, weil es einen grundsätzlichen Denkfehler meinerseits nahelegt.

Das ist richtig, aber auch eine Lüge. Tatsächlich glaubst du nicht, dass du einen Denkfehler machst. Du glaubst, Deiser und andere sind Blödis, und außer dir hat das noch keiner bemerkt, weil alle anderen wie z. b. Elvis auch Blödis sind. Du hast dir deine eigene Gedankenwelt erschaffen und die ist unerschütterlich. Es spielt gar keine Rolle, welche Antworten du bekommst. Deine Überzeugung ändert sich nicht.

In diesem Sinne ist es echt blöd, wenn man dir antwortet. Daher ist dies auch meine einzige Antwort zu deiner unerschütterlichen Gedankenwelt.

20.08.2018, 16:59

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Huggy
Das ist richtig, aber auch eine Lüge. Tatsächlich glaubst du nicht, dass du einen Denkfehler machst.

Leider falsch, die erste Aussage sogar per se.

20.08.2018, 17:05

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Finn_
Bei $\begin{eqnarray*} {x\mid P(x)} \end{eqnarray*}$ ist P ein Prädikat. Dieses ist nicht dazu da, Dinge wie Bauklötzer zusammenzulegen, sondern Elemente aus einer größeren Menge (aus dem Diskursuniversum, wenn nichts angegeben ist) auszufiltern. Das Prädikat ist quasi die Indikatorfunktion für die Menge, die es beschreibt.

Nehmen wir die Menge M = {x aus IN | x = 1 oder x = 2}. Um zu schauen, welche Elemente M enthält, fragen wir uns doch, welche Zahlen aus IN das Prädikat "x = 1 oder x = 2" erfüllen. Und dieses Prädikat wird von beiden Zahlen 1 und 2, aber auch nur von 1 und nur von 2 erfüllt, so dass wir schließen: M = {1, 2} & M = {1} & M = {2} oder wie kommst du hier nur auf M = {1, 2}?

20.08.2018, 17:17

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
"{x aus IN | x = 1 oder x = 2}"

bedeutet

"nehme alle Zahlen aus IN und entferne davon solche, für die das Prädikat 'x=1 oder x=2' nicht erfüllt ist".

Da bleibt dann das Filtrat {1,2} übrig.

20.08.2018, 17:23

Finn_

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Oder der Rückstand. Es ist nicht immer klar, was nun das Filtrat und was der Rückstand ist.

20.08.2018, 18:24

Elvis

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Pippen, du alberst mal wieder dumm herum. Es ist nicht einmal witzig, Mengen mit Potenzmengen zu verwechseln. unglücklich

20.08.2018, 19:05

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

Zitat:

Original von Finn_
"{x aus IN | x = 1 oder x = 2}"

bedeutet

"nehme alle Zahlen aus IN und entferne davon solche, für die das Prädikat 'x=1 oder x=2' nicht erfüllt ist".

Da bleibt dann das Filtrat {1,2} übrig.

Aha. "Nimm alle Zahlen aus IN und wähle davon die aus, für die (x = 1 oder x = 2) wahr ist und tue sie in die Menge". Jetzt kommt tatsächlich nur noch {1, 2} raus. Mein Problem entsteht nur, wenn die Grundmenge für x wechseln, also mal IN, mal {1} ist, weil natürlich die Menge "{x aus IN | x = 1 oder x = 2}" eine andere ist als die Menge "{x aus IN\{1} | x = 1 oder x = 2}.

Vielen Dank für die Hilfe, Finn.

28.08.2018, 23:25

Pippen

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RE: Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'
Neues Verständnisproblem Vergleichbarkeitssatz, d.h. dass für zwei Mengen M,N gilt: |M| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ |N| oder |N| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ |M|. Was wäre daran falsch, wenn man ganz schlicht bewiese:

Fall 1: M bildet ab nach N injektiv, d.h. jedes Element von N hat höchstens einen Partner in M; dann gilt trivial: |N| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ |M|
Fall 2: M bildet nicht ab nach N injektiv, d.h. jedes Element von N hat mindestens 2 Partner in M; dann gilt trivial: |M| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ |N|.
Einen dritten Fall kann es wegen tertium non datur nicht geben, Ende.

29.08.2018, 08:23

tatmas

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Alles.

Mengen bilden nicht ab, das tun Abbildungen.
Und die Def. von $\begin{eqnarray*} |N| \leq |M| \end{eqnarray*}$ ist: es gibt eine Injektion von N nach M.

30.08.2018, 17:28

Pippen

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Zitat:

Original von tatmas
Und die Def. von $\begin{eqnarray*} |N| \leq |M| \end{eqnarray*}$ ist: es gibt eine Injektion von N nach M.

Und die Negation wäre doch dann: es gibt keine Injektion von N nach M (obwohl es eine Funktion von N nach M gäbe). Dadurch folgt doch, dass jedes Element von N mind. 2 Partner in M haben muss, oder?!? Dann aber kann M nicht kleiner sein als N, höchstens gleich. Und weil wir wg. der Negation eine vollständige Fallunterscheidung trafen, wäre nicht mehr möglich.

30.08.2018, 19:08

Elvis

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Falsch. Du musst zuerst lernen, was eine injektive Abbildung ist.

31.08.2018, 00:26

Pippen

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Eine injektive Abbildung von N nach M liegt vor, wenn für alle x aus M gilt, dass höchstens ein x aus N auf sie zielt. Richtig? Dann ist klar, dass M größer/gleich N sein muss.

Das Problem liegt wohl darin, dass ich die Negation der injektiven Abbildung falsch bilde, die wohl nicht lautet: wenn für alle x aus M gilt, dass mehr als ein x aus N auf M zielt, sondern: es gibt ein x aus M für das gilt, dass mehr als ein x aus N auf M zielt. Ja, und dann kann man nichts mehr leicht folgern. Ist das korrekt?

Vielleicht als Übung für mich:

Irgendwo in einem Unipaper wird die injektive Abbildung prädikatenlogisch definiert als $\begin{eqnarray*} \forall (a1,b1) \in f \: \forall (a2, b2) \in f: a1 \neq a2 \:=> b1 \neq b2 \end{eqnarray*}$ Ist dazu die Negation: $\begin{eqnarray*} \exists (a1,b1) \in f \: \exists (a2, b2) \in f: a1 \neq a2 \: \wedge b1 = b2) \end{eqnarray*}$ ?

31.08.2018, 04:51

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \lnot(x\to y)\stackrel{\checkmark}{\Leftrightarrow }x \land \lnot y \end{eqnarray*}$ ist Wahrform

aber: $\begin{eqnarray*} \quad\forall (a_1,b_1)\in f~\forall (a_2,b_2)\in f:\cdots \end{eqnarray*}$ macht mir Augenschmerzen.

so ist es lesbar:

$\begin{eqnarray*} \lnot \left (\bigwedge_{(a_1,b_1)\in f}~~ \bigwedge_{(a_2,b_2)\in f} a_1\neq a_2 \to b_1\neq b_2 \right)~\Leftrightarrow \bigvee_{(a_1,b_1)\in f}~~ \bigvee_{(a_2,b_2)\in f} a_1\neq a_2\, \land \, b_1 = b_2 \end{eqnarray*}$

31.08.2018, 11:12

Elvis

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Es ist nicht nötig, anderweitig nach Definitionen für "injektiv" zu suchen, denn bei Deiser steht die einfachste
Definition(injektiv ...)
Sei f eine Funktion. f heißt injektiv, falls für alle a1,a2,b gilt: [Aus] f(a1) = b und f(a2) = b folgt a1 = a2.

Wenn man ein gutes Mathematikbuch liest darf man davon ausgehen, dass alle Definitionen darin stehen, bevor Sätze bewiesen werden, die diese Definitionen brauchen.

01.09.2018, 00:47

Pippen

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Schön das ich mal was richtig gedacht bzw. meinen Fehler gesehen habe, das gibt etwas Motivation.

Leider springe ich bei Deiser von einer Grube in die nächste. Deiser bietet folgenden Beweis an, den ich trotz langem Lesen und verstehen wollen nicht verstehe, kann jemand diesen Beweis etwas ausführlicher oder verständlicher formulieren? Oder wie nennt man diesen Beweis, so dass ich danach googlen kann?

[attach]47946[/attach]

01.09.2018, 11:22

Elvis

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Was genau du verstanden hast, kann ich nicht wissen. Dein Beweisversuch für den Vergleichbarkeitssatz ist jedenfalls misslungen.

Der Satz und sein Beweis ist (mir) klar. A ist unendlich nach Voraussetzung, hat also nach Definition der Unendlichkeit eine unendliche echte Teilmenge A' mit einer Bijektion f von A nach A'. b kann man in A-A' wählen, weil A' echte Teilmenge von A ist. g ist die Einschränkung von f, also injektiv, weil f injektiv ist. f(b) ist nicht im Bild von g, weil b nicht im Urbild von g liegt. f(b) ist ungleich b, weil b nicht in A'=Bild von f liegt, f(b) ist dagegen im Bild von f. Also ist g injektive Funktion einer Menge auf eine echte Teilmenge (das nennt Deiser "Zeuge für die Unendlichkeit"). |A-{a}|=|A-{b}| ist trivial, A-{b} als unendlich bezeugt, also A-{a} unendlich.

Was ist dir unklar ? Man muss sich bei solchen Beweisen nur jeden einzelnen Satz bewußt machen und nachvollziehen, warum alles richtig ist, was gesagt wird. Wenn für dich |A-{a}|=|A-{b}| nicht trivial ist, musst du nur in naheliegender Weise eine Bijektion zwischen den beiden Mengen konstruieren.

02.09.2018, 01:29

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Was genau du verstanden hast, kann ich nicht wissen. Dein Beweisversuch für den Vergleichbarkeitssatz ist jedenfalls misslungen.

Ja, weil ich die falsche Negation zur Injektion gebildet habe, sieh mein Beitrag vor diesem.

Zitat:

Der Satz und sein Beweis ist (mir) klar. A ist unendlich nach Voraussetzung, hat also nach Definition der Unendlichkeit eine unendliche echte Teilmenge A' mit einer Bijektion f von A nach A'. b kann man in A-A' wählen, weil A' echte Teilmenge von A ist. g ist die Einschränkung von f, also injektiv, weil f injektiv ist. f(b) ist nicht im Bild von g, weil b nicht im Urbild von g liegt. f(b) ist ungleich b, weil b nicht in A'=Bild von f liegt, f(b) ist dagegen im Bild von f. Also ist g injektive Funktion einer Menge auf eine echte Teilmenge (das nennt Deiser "Zeuge für die Unendlichkeit"). |A-{a}|=|A-{b}| ist trivial, A-{b} als unendlich bezeugt, also A-{a} unendlich.

Was ist dir unklar ? Man muss sich bei solchen Beweisen nur jeden einzelnen Satz bewußt machen und nachvollziehen, warum alles richtig ist, was gesagt wird. Wenn für dich |A-{a}|=|A-{b}| nicht trivial ist, musst du nur in naheliegender Weise eine Bijektion zwischen den beiden Mengen konstruieren.

Deiser definiert M als unendlich, falls es eine echte Teilmenge N von M gibt, die sich bijektiv auf M abbilden läßt. Das kapier ich. Dann definiert Deiser M als unendlich auch dann, wenn die Funktion f: M -> M für mind. einen Wert in der Zielmenge M keinen Wert in der Ausgangsmenge M hat (f wäre injektiv). Wieso soll auch das auf eine unendliche Menge hindeuten?

02.09.2018, 09:12

Elvis

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Zitat:

Original von Pippen
... Dann definiert Deiser M als unendlich auch dann, wenn die Funktion f: M -> M für mind. einen Wert in der Zielmenge M keinen Wert in der Ausgangsmenge M hat (f wäre injektiv). Wieso soll auch das auf eine unendliche Menge hindeuten?

Das kann nicht sein, denn jede Funktion f ordnet jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zu.

Der Prototyp einer unendlichen Menge sind die natürlichen Zahlen. Die geraden Zahlen sind eine echte Teilmenge, $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to 2 \mathbb N,n\mapsto 2n \end{eqnarray*}$ ist bijektiv. Die natürlichen Zahlen größer als 1 sind eine echte Teilmenge, $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N\to \mathbb N \backslash \{1 \}, n\mapsto n +1 \end{eqnarray*}$ ist bijektiv. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bezeugen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist.

03.09.2018, 00:01

Pippen

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Sieh selbst, das rot Unterstrichene verstehe ich nicht und genau damit argumentiert Deister's Beweis.:

[attach]47953[/attach]

03.09.2018, 00:03

Pippen

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Da Deister übrigens wirklich hart zu lesen ist, würden mich Alternativbücher/Links interessieren, die etwas anfängerfreundlicher sind, aber dennoch tiefere Mengenlehre lehren.

03.09.2018, 00:32

tatmas

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Der Autor heisst Deiser, ohne t.
Und es gibt kaum ein angenehmer zu lesendes Mathematikbuch als dieses. Ein Mathematikbuch lesen heisst immer auch selber mitdenken und Aufgaben machen. Das ist kein Roman.

03.09.2018, 06:12

tobit

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Hallo pippen,

beweisen wir also die Äquivalenz zwischen "gelb" und "rot":

1. Gelte zunächst die "gelbe Aussage", d.h. es gibt eine echte Teilmenge $\begin{eqnarray*} N\subset M \end{eqnarray*}$ und eine Bijektion $\begin{eqnarray*} g\colon M\to N \end{eqnarray*}$ .
Zeigen müssen wir die "rote Aussage", d.h. die Existenz einer injektiven Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon M\to M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rng(f)\neq M \end{eqnarray*}$ .

Wir definieren $\begin{eqnarray*} f\colon M\to M \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(m):=g(m) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ .

Weil für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(m)\in N\subset M \end{eqnarray*}$ , ist f tatsächlich wohldefiniert.

Warum ist f injektiv?
Seien $\begin{eqnarray*} m_1,m_2\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m_1)=f(m_2) \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} m_1=m_2 \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} g(m_1)=f(m_1)=f(m_2)=g(m_2) \end{eqnarray*}$ , so dass die Injektivität von g wie gewünscht $\begin{eqnarray*} m_1=m_2 \end{eqnarray*}$ liefert.

Warum gilt $\begin{eqnarray*} rng(f)\neq M \end{eqnarray*}$ ?
Da N eine ECHTE Teilmenge von M ist, existiert ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\notin N \end{eqnarray*}$ .
Nun behaupte ich $\begin{eqnarray*} m\notin rng(f) \end{eqnarray*}$ : Wäre nämlich $\begin{eqnarray*} m\in rng(f) \end{eqnarray*}$ , gäbe es ein $\begin{eqnarray*} m'\in M \end{eqnarray*}$ mit f(m')=m. Dann würde $\begin{eqnarray*} m=f(m')=g(m')\in N \end{eqnarray*}$ folgen im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} m\notin N \end{eqnarray*}$ .
Es gilt also $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} m\notin rng(f) \end{eqnarray*}$ , so dass tatsächlich $\begin{eqnarray*} rng(f)\neq M \end{eqnarray*}$ folgt.

2. Gelte nun die "rote Aussage", d.h. es existiert eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon M\to M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rng(f)\neq M \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist die "gelbe Aussage", d.h. die Existenz einer echten Teilmenge $\begin{eqnarray*} N\subset M \end{eqnarray*}$ und einer Bijektion $\begin{eqnarray*} g\colon M\to N \end{eqnarray*}$ .

Wir definieren $\begin{eqnarray*} N:=rng(f)\subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\colon M\to N,\;g(m):=f(m) \end{eqnarray*}$ .

Da für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(m)\in rng(f)=N \end{eqnarray*}$ , ist g tatsächlich wohldefiniert.

Warum ist g injektiv?
Seien $\begin{eqnarray*} m_1,m_2\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(m_1)=g(m_2) \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} m_1=m_2 \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} f(m_1)=g(m_1)=g(m_2)=f(m_2) \end{eqnarray*}$ liefert die Injektivität von f tatsächlich $\begin{eqnarray*} m_1=m_2 \end{eqnarray*}$ .

Warum ist g surjektiv?
Sei $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist die Existenz eines $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(m)=n \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} n\in N=rng(f) \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ mit f(m)=n.
Also wie gewünscht g(m)=f(m)=n.

Warum ist N eine ECHTE Teilmenge von g?
Es kann nicht gleichzeitig $\begin{eqnarray*} rng(f)\subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} rng(f)\supseteq M \end{eqnarray*}$ gelten, da sonst $\begin{eqnarray*} rng(f)=M \end{eqnarray*}$ folgen würde im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} rng(f)\neq M \end{eqnarray*}$ .
Es gilt aber $\begin{eqnarray*} rng(f)\subseteq M \end{eqnarray*}$ , so dass nicht $\begin{eqnarray*} rng(f)\supseteq M \end{eqnarray*}$ gelten kann.
Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\notin rng(f)=N \end{eqnarray*}$ .
Somit ist N tatsächlich eine echte Teilmenge von M.

Viele Grüße
Tobias

03.09.2018, 07:46

Elvis

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Bequemer als Deiser geht's nicht, das ist nur eine Einführung in die Mengenlehre. Wer wirklich verstehen will, muss Hausdorff lesen, Grundzüge der Mengenlehre, 1914 (nicht für Anfänger). Übrigens ist niemand verpflichtet, Mathematik zu lesen, zu lernen und zu verstehen.

06.09.2018, 22:07

Pippen

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Mal was Einfaches zwischendurch, wo ich dennoch immer noch unsicher bin:

1. {x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ } = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ in ZFC! Ist das richtig oder ist das vielmehr eine Unmenge, also gar keine Menge in ZFC? Für mich ist das eine Menge, nur eben eine, bei der x nie Element von A sein kann, so dass da auch kein x drin wäre, also leer.

2. Wenn ich es richtig verstehe, dann muss ein zulässiges Prädikat P(x) in ZFC zusätzlich in PL formulierbar sein, so dass zB P(x) nicht für natürlichsprachliche Sätze stehen darf, die in PL nicht formulierbar sind, zB den in Berry's Paradoxon, wonach "x durch weniger als 20 Worte beschrieben werden kann". Durch diesen "Trick" will ZFC semantische Paradoxien verhindern, habe ich gelesen. Steht das irgendwo explizit in ZFC oder ist das eine Hintergrundannahme?

06.09.2018, 23:08

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
{x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ } = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ in ZFC!

Die Menge auf der linken Seite ist identisch mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pippen
Wenn ich es richtig verstehe, dann muss ein zulässiges Prädikat P(x) in ZFC zusätzlich in PL formulierbar sein

Nicht "zusätzlich", sondern per Definition. ZFC ist eine bestimmte FO-Theorie. Was eine Formel ist, wird wie üblich induktiv definiert.

Zitat:

Original von Pippen
Steht das irgendwo explizit in ZFC oder ist das eine Hintergrundannahme?

ZFC: Axiomenschema der Separation (ENWP)

06.09.2018, 23:50

Pippen

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Original von zweiundvierzig

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Original von Pippen
{x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ } = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ in ZFC!

Die Menge auf der linken Seite ist identisch mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Hm. Es gibt für o.g. Menge doch kein x, welches die Konjunktion x € A und x ungleich x erfüllt, so dass es nur die leere Menge sein kann. Wo liegt der Fehler in diesem Gedanken (der natürlich erst recht dazu führt, dass o.g. Menge nicht A ist)?

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Original von Pippen

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Steht das irgendwo explizit in ZFC oder ist das eine Hintergrundannahme?

ZFC: Axiomenschema der Separation (ENWP)

Ich habe die deutsche Version dieser Seite benutzt. Da wird das Axiom definiert als: Zu jeder Menge A existiert eine Menge, die genau die Elemente x aus A enthält, für die P ( x ) gilt. Da wird mE nirgends explizit geregelt, dass P(x) nicht irgendeine Alltagsbedingung sein darf, wie zB "alle nat. Zahlen, die mit unter 20 Wörter beschreibbar sind". Oder woraus ergibt sich das konkret?

07.09.2018, 00:06

zweiundvierzig

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Original von Pippen

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Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
{x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ } = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ in ZFC!

Die Menge auf der linken Seite ist identisch mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Hm. Es gibt für o.g. Menge doch kein x, welches die Konjunktion x € A und x ungleich x erfüllt, so dass es nur die leere Menge sein kann.

Du hattest $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ geschrieben. In ZFC gilt $\begin{eqnarray*} \forall x(\neg x \in x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg \exists x(\neg x=x) \end{eqnarray*}$ . Entsprechend gilt $\begin{eqnarray*} \forall a (\{x \, | \, x \in a \wedge \neg x \in x\} = a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall a(\{x \, |\, x \in a \wedge \neg x = x \} = \emptyset) \end{eqnarray*}$ .

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Original von Pippen [quote]
Ich habe die deutsche Version dieser Seite benutzt. Da wird das Axiom definiert als: Zu jeder Menge A existiert eine Menge, die genau die Elemente x aus A enthält, für die P ( x ) gilt. Da wird mE nirgends explizit geregelt, dass P(x) nicht irgendeine Alltagsbedingung sein darf [...]

Dort steht "jedes Prädikat P(x)" und hierbei ist der Begriff Prädikat natürlich im Kontext von ZFC zu verstehen -- genauso wie in einem Artikel über Mengenlehre die Termini Menge oder Element im entsprechenden Sinn zu verstehen sind, und nicht etwa im Sinne einer Menge von Personen oder eines chemischen Elements.

07.09.2018, 00:56

Pippen

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Original von zweiundvierzig

Du hattest $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ geschrieben. In ZFC gilt $\begin{eqnarray*} \forall x(\neg x \in x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg \exists x(\neg x=x) \end{eqnarray*}$ . Entsprechend gilt $\begin{eqnarray*} \forall a (\{x \, | \, x \in a \wedge \neg x \in x\} = a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall a(\{x \, |\, x \in a \wedge \neg x = x \} = \emptyset) \end{eqnarray*}$ .

D.h. die Menge ist also gleich a und a ist gleich der leeren Menge, ja? Es ist aber eine Menge ohne Elemente im Gegensatz zur Russellschen Menge, die eine Unmenge ist (also gar keine ZFC-Menge).

Zitat:

Original von Pippen [quote]
Dort steht "jedes Prädikat P(x)" und hierbei ist der Begriff Prädikat natürlich im Kontext von ZFC zu verstehen -- genauso wie in einem Artikel über Mengenlehre die Termini Menge oder Element im entsprechenden Sinn zu verstehen sind, und nicht etwa im Sinne einer Menge von Personen oder eines chemischen Elements.

Die Menge von Männern in Deutschland wäre also nach ZFC gar keine zulässige Menge. Korrekt? Komisch, dass die Philosophen oft mit solchen natürlich-sprachlichen Mengen arbeiten. Was benutzen die dann für ein System? ZFC kann es ja nicht sein. Könnte es sein, dass die einfach Mengen auf alle tatsächlichen Objekte begrenzen, denn auch damit dürften inkonsistente Mengen unmöglich sein, denn Widersprüchliches gibt's ja nicht.

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Deiser 'Einführung in die Mengenlehre'

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