Optimierung unter Nebenbedingung auf Mannigfaltigkeit

20.08.2018, 11:53	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung unter Nebenbedingung auf Mannigfaltigkeit Angenommen ihr habt eine glatte Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gegeben, z.B. eine Torusoberfläche. Auf dieser ist nun ein glattes Skalarfeld $\begin{eqnarray} f(p) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p\in M \end{eqnarray}$ definiert. Außerdem gibt es eine glatte Nebenbedingung $\begin{eqnarray} g(p)=0 \end{eqnarray}$ . Dann ist es doch sinnvoll, vom Begriff des lokalen Optimums zu sprechen, oder? Auf der Mannigfaltigkeit muss aber nicht unbedingt eine Metrik definiert sein. Somit gibt es dann keinen Gradient. Daher lässt sich auch das Verfahren der lagrangeschen Multiplikatoren nicht anwenden. Das ist doch eine paradoxe Situation, nicht wahr? Was macht ihr jetzt?
28.12.2018, 02:24	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Anstelle von $\begin{eqnarray} \nabla f = \lambda\nabla g \end{eqnarray}$ schreibt man für die notwendige Bedingung besser $\begin{eqnarray} \mathrm df = \lambda\mathrm dg \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathrm df\wedge\mathrm dg = 0. \end{eqnarray}$ Diese Umformung deutet an, dass dies auch auf einer Mannigfaltigkeit gültig bleibt. Die technischen Details hat in der Zwischenzeit jemand zur englischen Wikipedia hinzugefügt: Modern formulation via differentiable manifolds

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