Konforme Abbildung euklidischer Räume

21.08.2018, 16:15	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Konforme Abbildung euklidischer Räume Liebe Mathematiker, für $\begin{eqnarray} n\ge 3 \end{eqnarray}$ und ein Gebiet $\begin{eqnarray} D\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , gilt nach dem Satz von Liouville (über konforme Abbildungen), dass jede hinreichend glatte konforme Abbildung die Einschränkung einer Möbiustransformation, also einer Komposition von jeweils höchstens einer Isometrie, einer Streckung und einer Inversion bezüglich der Einheitssphäre um einen Punkt in $\begin{eqnarray} \mathbb R^n\setminus D \end{eqnarray}$ ist. Meine Frage bezieht sich nun auf den Fall $\begin{eqnarray} D=\mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Offenbar gibt es dann keinen Punkt, bzgl dem man invertieren könnte. Ist es richtig, dass jede glatte konforme Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ in sich selbst eine affin lineare Funktion ist? [Isometrien sind ja in den euklidischen Räumen Rotationen und Verschiebungen.] Im Grunde möchte ich nur sicher gehen, ob ich das alles richtig verstanden habe, denn ich habe diesen Spezialfall bisher nirgends explizit angesprochen gesehen. Liebe Grüße daLoisl
23.08.2018, 12:45	trara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konforme Abbildung euklidischer Räume Hallo auch im R^n gibt es doch die Einheitssphäre, an der man invertieren kann. man invertiert doch nicht bezüglich eines Punktes? oder was meinst du damit? den Mittelpunkt des Kreises, an dem gespiegelt wird? Gruß trara
23.08.2018, 13:16	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich sehe gerade, dass meine Frage wirklich nicht ganz klar ist. Möbiustransformationen sind ja von $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R^n} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R^n} \end{eqnarray}$ definiert. Dann kann eine Einschränkung auf $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ natürlich auch wieder $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ im Wertebereich haben. Das ist genau dann der Fall, wenn der Punkt, an dessen Einheitssphäre gespiegelt/invertiert wird, in $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ liegt. Hat man aber eine konforme Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R^n\to \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , muss die Möbiustransformation, deren Einschränkung auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ abbilden. Dann ist sie aber nur eine affin lineare Funktion. Stimmt das? Liebe Grüße daLoisl

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