Wofür Normierte Zeilenstufenform?

23.08.2018, 17:58

Devanther

Wofür Normierte Zeilenstufenform?

Hallo,

ich wollte fragen, wofür man eine Marix in Normierte Zeilenstufenform überführt,
was bringt das?
Macht man das um den Kern abzulesen?
Was ist der Kern?

Eine Matrix überführt man mit Hilfe des Gauss- Algorithmus in Zeilenstufenform um den Rang abzulesen,
aber bei der NZSF?

Was ist der Unterschied zwischen einem Rang und einer Dimension?

23.08.2018, 18:11

Elvis

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Gegeben zwei Vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ mit Basen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:V\to W,x\mapsto \varphi(x) \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Matrix $\begin{eqnarray*} M_{\varphi} \end{eqnarray*}$ , die die lineare Abbildung darstellt, d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} M_{\varphi}x=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ . Die normierte ZSF der Matrix $\begin{eqnarray*} M_{\varphi} \end{eqnarray*}$ erlaubt es, den Kern der Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ abzulesen, das ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=0\in W \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} ker(\varphi)\le V \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Der Rang von $\begin{eqnarray*} M_{\varphi} \end{eqnarray*}$ ist die maximale Anzahl Spalten- bzw. Zeilenvektoren, dieser Rang ist gleich der Dimension von $\begin{eqnarray*} \varphi(V)\le W \end{eqnarray*}$ , also des Bildes von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

23.08.2018, 18:49

Devanther

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Zitat:

Die normierte ZSF der Matrix MÆ erlaubt es, den Kern der Abbildung Æ abzulesen

Was ist der Kern aber?
Wofür müssen wir den Kern ablesen?

Vielleicht einmal in eigene Worte fassen?

23.08.2018, 19:14

Elvis

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Habe ich doch schon gesagt ... der Kern einer linearen Abbildung ist der Untervektorraum des Urbildraums, der auf den Nullvektor des Bildraums abgebildet wird. Der Kern geht auf 0, der Rest von V auf Bild, das ist ein Untervektorraum von W. Eine lineare Abbildung liefert also 2 weitere (Unter-)Vektorräume. Dann gilt noch der Rangsatz dim(V)=dim(ker)+dim(Bild), womit man schon eine ganze Menge wichtige Informationen über die 4 beteiligten Vektorräume erhält. Es bestehen viele interessante Beziehungen zwischen Matrizen, linearen Abbildungen und Vektorräumen. So baut man eine mathematische Theorie auf, hier die lineare Algebra. Bei anderen Theorien geht das genauso, man betrachtet Strukturen auf Mengen und strukturerhaltende Abbildungen. Etwas abstrakter gesagt: Kategorien aus Objekten und Morphismen.

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