Kegelvolumen und Kegelfläche

25.08.2018, 15:16

MasterWizz

Kegelvolumen und Kegelfläche

Hey Leute,

es geht mir noch einmal um die Darstellung des Kegelvolumens und der Kegelfläche mit karthesischen Koordinaten und einer geeigneten Parametrisierung in Polarkoordinaten.

Kegel mit Spitze in (0,0,0) und Kreisgrundfläche um (0,0,H) und Radius R:

Kegelvolumen
$\begin{eqnarray*} K=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2\leq R^2\left(\frac{z}{H}\right)^2,z\in[0,H]\right\}\quad\Longleftrightarrow\quad K(r,\varphi,h)=\begin{pmatrix} r\cdot\cos(\varphi) \\ r\cdot\sin(\varphi) \\ H-h\left(1-\frac{r}{R}\right) \end{pmatrix},\quad r\in[0,R],\ \varphi\in[0,2\pi),\ h\in[0,H] \end{eqnarray*}$

Kegeloberfläche
$\begin{eqnarray*} K=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2= R^2\left(\frac{z}{H}\right)^2,z\in[0,H]\right\}\quad\Longleftrightarrow\quad K(r,\varphi)=\begin{pmatrix} r\cdot\cos(\varphi) \\ r\cdot\sin(\varphi) \\ H\cdot\frac{r}{R} \end{pmatrix},\quad r\in[0,R],\ \varphi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$

Kegel mit Spitze in (0,0,H) und Kreisgrundfläche um (0,0,0) und Radius R:

Kegelvolumen
$\begin{eqnarray*} K=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2\leq R^2\left(1-\frac{z}{H}\right)^2,z\in[0,H]\right\}\quad\Longleftrightarrow\quad K(r,\varphi,h)=\begin{pmatrix} r\cdot\cos(\varphi) \\ r\cdot\sin(\varphi) \\ h\cdot\left(1-\frac{r}{R}\right) \end{pmatrix},\quad r\in[0,R],\ \varphi\in[0,2\pi),\ h\in[0,H] \end{eqnarray*}$

Kegeloberfläche
$\begin{eqnarray*} K=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2= R^2\left(1-\frac{z}{H}\right)^2,z\in[0,H]\right\}\quad\Longleftrightarrow\quad K(r,\varphi)=\begin{pmatrix} r\cdot\cos(\varphi) \\ r\cdot\sin(\varphi) \\ H\cdot\left(1-\frac{r}{R}\right)\end{pmatrix},\quad r\in[0,R],\ \varphi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir sagen, ob das alles so richtig ist und wie man auf die Parametrisierung des Kegelvolumens im ersten Fall kommt?

25.08.2018, 19:22

Leopold

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Ich habe mir nur die ersten beiden Formeln angeschaut. Sie scheinen zu stimmen. Mir kommen sie aber ziemlich umständlich vor. Ich würde anders parametrisieren. Hier der Kegelkörper:

$\begin{align*} K(r,\varphi,z) = \begin{pmatrix} r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \\ z \end{pmatrix} \, ; \ \ z \in [0,H], \ r \in \left[ 0 , \frac{R}{H} z \right], \ \varphi \in [0,2\pi] \end{align*}$

[attach]47932[/attach]

In dieser Parametrisierung bilden die Tripel $\begin{align*} (r,\varphi,z) \end{align*}$ ein Prisma, und zwar einen halben Quader. Bei dir bilden die Tripel einen Quader. Das erscheint zunächst einfacher, du mußt es aber mit einem komplizierteren Term in der dritten Koordinate erkaufen.

26.08.2018, 20:13

MasterWizz

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Ich verstehe, das ergibt Sinn. Das Einsetzen von x und y in die Gleichung auf der linken Seite ergeben für den Radius genau deine Grenzen smile

Doch wie sieht das für die Oberfläche des Kegels aus? Durch das Einsetzen der x und y Komponente ergibt sich $\begin{eqnarray*} r=\frac{R}{H}z \end{eqnarray*}$ . Wäre dann für die Oberfläche des Kegels im ersten Fall richtig:
$\begin{eqnarray*} K(\varphi,z)=\begin{pmatrix} \frac{R}{H}z\cos(\varphi) \\ \frac{R}{H}z\sin(\varphi) \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Vielleicht habe ich mich damit gerade selbst verwirrt

Edit: Eine sehr schöne und anschauliche Grafik!

26.08.2018, 21:32

Leopold

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Mit $\begin{align*} z \in [0,H] \end{align*}$ und $\begin{align*} \varphi \in [0,2\pi] \end{align*}$ , ja.

26.08.2018, 22:38

MasterWizz

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Wow dann scheine ich es jetzt doch fast verstanden zu haben smile

Dann wäre im zweiten Fall wohl auch möglich auf diese Art zu parametrisieren.

Kegelvolumen: $\begin{eqnarray*} K(r,\varphi,z)=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \\ z \end{pmatrix},\ r\in [0,R\left(1-\tfrac{z}{H}\right)],\ z\in[0,H],\ \varphi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$

Kegeloberfläche: $\begin{eqnarray*} K(\varphi,z)=\begin{pmatrix} R\left(1-\tfrac{z}{H}\right)\cos(\varphi) \\ R\left(1-\tfrac{z}{H}\right)\sin(\varphi) \\ z \end{pmatrix},\ z\in[0,H],\ \varphi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$

Kannst du das auch so absegnen? Dann bin ich glücklich smile

26.08.2018, 22:48

Leopold

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Zitat:

Original von MasterWizz
Kannst du das auch so absegnen? Dann bin ich glücklich smile

Dann geh jetzt glücklich zu Bett ... smile

27.08.2018, 08:51

MasterWizz

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Haha vielen Dank Leopold, du bist ein Schatz smile

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