Konvergenz einer Reihe mit Parameter

28.08.2018, 16:59

spje21

Konvergenz einer Reihe mit Parameter

Hallo, ich mchte folgende Aufgabe lösen:

Charakterisieren Sie das Konvergenzverhalten der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} \cdot (1-x)^n \end{eqnarray*}$

an jeder Stelle $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Mein erster Ansatz wäre, die Reihe auf Konvergenz mittels Wurzelkriterium zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} &\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(2n)!}\cdot (1-x)^n\right|}}\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(2n)!}\right|\cdot \left|(1-x)^n\right|}}\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(2n)!}\right|}} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|(1-x)^n\right|}}\\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(2n)!}\right|}} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left|1-x\right|} \end{eqnarray*}$

Daraus kann ich jetzt die Einzelgrenzwerte bilden:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(2n)!}\right|}} = 0\\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left|1-x\right|} = \left|1-x\right| \end{eqnarray*}$

Daraus würde folgen, dass die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut konvergent für jedes x ist.

Aber wenn da es für jedes x konv., scheint es mir als hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht? verwirrt

28.08.2018, 19:11

Huggy

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RE: Konvergenz einer Reihe mit Parameter

Zitat:

Original von spje21
[quote]Daraus würde folgen, dass die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut konvergent für jedes x ist.

Das ist richtig. Es gibt Potenzreihen, die überall konvergieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{(2n)!}\right|}} = 0 \end{eqnarray*}$

Das müsste man allerdings begründen. Mit dem Quotientenkriterium geht die Sache noch einfacher.

28.08.2018, 20:02

HAL 9000

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Man kann übrigens den Reihenwert mit "üblichen" Funktionen darstellen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} \cdot (1-x)^n = \begin{cases} \cosh(\sqrt{1-x})-1 &\;\mbox{für}\; x\leq 1\\ \cos(\sqrt{x-1})-1 &\;\mbox{für}\; x\geq 1\end{cases} . \end{eqnarray*}$

29.08.2018, 01:17

spje21

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Zitat:

Das müsste man allerdings begründen. Mit dem Quotientenkriterium geht die Sache noch einfacher.

Meine Begründung dafür, dass das gegen null geht wäre, dass eine Potenz schneller wächst als das die nte Wurzel das kompensieren kann. Deswegen wird der Ausdruck im Nenner immer größer und der Bruch geht gegen unendlich dafür gegen null.

Ich weiß aber nicht ob das eine "legitime" Begründung dafür ist.

29.08.2018, 08:23

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe mit Parameter
Das ist keine nachvollziehbare Begründung, die auf Definitionen oder schon bekannten Sätzen basiert. Mit deiner "Begründung" müßte ja auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$ gleich Null sein.

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