Frage zum Satz von Weierstraß

28.08.2018, 22:26

Nanex1

Frage zum Satz von Weierstraß

Satz:
Es sei (X, d) ein metrischer Raum, K c X folgenkompakt und f: K --> R sei stetig. Dann existieren Punkte x1, x2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K sd. f(x1) = inf f(K) und f(x2) = supf(K).
Falls X =R, K =[a, b], d(x, y)=|x-y| folgt insbesondere
f(K) = [inf(f(K)), sup(f(K))]

Momentan lerne ich für meine mündliche Analysis Prüfung (Ana 1-3) und ich glaube ich verstehe den Satz nicht so hundertprozentig, bzw. würde gerne mal nachfragen ob das so stimmt, was ich denke. Wenn nicht, würde ich gerne wissen ab wann ich den Faden verliere.

Also zuerst:
(X,d) sei ein metrischer Raum. --> (X,d) ist eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist, sodass man Abstände beschreiben kann.

K c X folgenkompakt --> Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge (bedeutet das schon, dass keine Folge bestimmt konvergent gegen +/- unendlich divergieren kann?)

f: K --> R sei stetig. --> Definition mit epsilon delta Kriterium oder über folgenstetigkeit. Anschaulich einfach: Die Funktion besitzt im Intervall K keine Sprungstellen.

x1, x2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K sd. f(x1) = inf f(K) und f(x2) = supf(K)
Bedeutet einfach, dass das Supremum und das Infimum von der Funktion angenommen werden und somit existieren.
Und hier frage ich mich: Gilt das auch, wenn die Funktion gegen unendlich divergiert?
Oder ist die Divergenz gegen unendlich schon durch die folgenkompaktheit ausgeschlossen?

Danke schon mal! smile

29.08.2018, 20:26

10001000Nick1

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RE: Frage zum Satz von Weierstraß

Zitat:

Original von Nanex1
(X,d) sei ein metrischer Raum. --> (X,d) ist eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist, sodass man Abstände beschreiben kann.

Nicht ganz. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine Menge und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine Metrik auf dieser Menge. $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ist dann ein metrischer Raum.

Zitat:

Original von Nanex1
K c X folgenkompakt --> Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge (bedeutet das schon, dass keine Folge bestimmt konvergent gegen +/- unendlich divergieren kann?)

In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Standardmetrik ist das richtig. Denn da ist jede kompakte Teilmenge beschränkt, also auch jede Folge in dieser Menge.
In allgemeinen metrischen Räumen gibt es sowas wie bestimmte Divergenz gar nicht.

Zitat:

Original von Nanex1
f: K --> R sei stetig. --> Definition mit epsilon delta Kriterium oder über folgenstetigkeit. Anschaulich einfach: Die Funktion besitzt im Intervall K keine Sprungstellen.

Wie oben auch nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Standardmetrik und falls $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Intervall ist. In anderen metrischen Räumen ist ja gar nicht klar, was "Sprungstellen" sein sollen.

Zitat:

Original von Nanex1
Und hier frage ich mich: Gilt das auch, wenn die Funktion gegen unendlich divergiert?
Oder ist die Divergenz gegen unendlich schon durch die folgenkompaktheit ausgeschlossen?

Statt "Divergenz gegen unendlich" meinst du sicherlich "Unbeschränktheit". Und nein, das kann nicht passieren. Unter den genannten Voraussetzungen besagt der Satz von Weierstraß insbesondere, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

12.09.2018, 18:08

Nanex1

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Danke dir für deine Antwort, das hat mir sehr geholfen smile

Kann hier zu gemacht werden smile

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