Ist x^y rational?

01.09.2018, 20:53

Dopap

Ist x^y rational?

Kann eine Potenz zweier irrationaler Zahlen rational sein

$\begin{eqnarray*} x^y \in \mathbb Q \land x,y\notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$

01.09.2018, 20:59

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ist x^y ist rational?
$\begin{eqnarray*} x = e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \ln(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Q_+ \end{eqnarray*}$ . Der Wert $\begin{eqnarray*} \ln(z) \end{eqnarray*}$ ist meisten irrational. Mir fehlt bloss eine schöne Begründung warum das der Fall ist.

01.09.2018, 22:27

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ein Beispiel würde ja genügen.

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(3)}=3 \end{eqnarray*}$ ?

Wie schaut es denn mit klassischen irrationalen Zahlen aus, z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt2^{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ ?

01.09.2018, 22:42

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Graph von ln(x) ist eine kontinuierliche Kurve, enthält also alle reellen Zahlen als y-Werte . Das sollte genügen.

01.09.2018, 22:50

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, halten wir es mal offen.

1. Fall: $\begin{align*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q} \end{align*}$

Wenn dieser Fall eintrifft, dann hast du dein Beispiel für "irrational hoch irrational gleich rational".

2. Fall: $\begin{align*} a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \not \in \mathbb{Q} \end{align*}$

Dann rechnet man $\begin{align*} a^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2 \end{align*}$

Wenn also der zweite Fall zutrifft, hast du mit $\begin{align*} a^{\sqrt{2}} \end{align*}$ wiederum ein Beispiel für "irrational hoch irrational gleich rational".

Du mußt also gar nicht wissen, was genau zutrifft, es gibt auf jeden Fall ein Beispiel für die gestellte Aufgabe.

01.09.2018, 23:06

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen Weg geht auch Ingo Blechschmidt (ab Minute 4).

https://www.youtube.com/watch?v=Sij1jIL2...3Z15G0j5hv5i66v

01.09.2018, 23:20

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne den Beweis von hier. Da wird aber mehrfach von einem "Witz" gesprochen und dass der Beweis in der Form zu kurz sei.
Mich würde dann ggf. interessieren, inwiefern das Vorgehen methodisch unsauber ist.

02.09.2018, 18:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das matheboard wird ja zur Zeit nicht gerade mit Fragen überhäuft. Also sorry wenn ich einfach mal aus Langeweile so daher-poste Augenzwinkern

Zitat:

von Leopold - editiert

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q} \checkmark \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{align*} a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \not \in \mathbb{Q} \end{align*}$

Dann rechnet man $\begin{align*} a^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2 \in \mathbb Q \checkmark \end{align*}$

Du mußt also gar nicht wissen, was genau zutrifft, es gibt auf jeden Fall ein Beispiel für die gestellte Aufgabe.

gefällt mir gut.

03.09.2018, 19:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

An diesen Beweis kann ich mich noch gut erinnern. Ich glaube, es war in der Oberstufe bei jenem Studientag, an dem man eine Universität in der Nähe besucht und den Unibetrieb beschnuppern kann. Bei der Mathematikfachschaft haben sich ein paar Studenten um uns gekümmert und mit uns ein paar Aufgaben gelöst. Und diese war darunter. Das war für mich mit ausschlaggebend, Mathematik zu studieren.

05.09.2018, 10:32

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist auch wunderschön.

Kleiner Nachtrag zu meiner Idee: Seine $\begin{eqnarray*} p, q \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen. Da $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ tranzendent ist, ist $\begin{eqnarray*} e^p \end{eqnarray*}$ irrational (falls $\begin{eqnarray*} p \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) und insbesondere auch $\begin{eqnarray*} e^{p/q} = (e^p)^{1/q} \end{eqnarray*}$ irrational. Insbesondere heisst $\begin{eqnarray*} e^{\log 2 } = 2 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \log 2 \end{eqnarray*}$ nicht rational ist.

05.09.2018, 21:49

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klauss
Mich würde dann ggf. interessieren, inwiefern das Vorgehen methodisch unsauber ist.

Der Beweis stützt sich auf das Tertium non datur, was z.B. in intuitionistischer Logik nicht gilt.

Neue Frage »

Antworten »

Ist x^y rational?

Verwandte Themen