Varianz diskreter Zufallsvariablen

04.09.2018, 17:36	Marius.21	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz diskreter Zufallsvariablen Meine Frage: Hi, wir sollen in einer unseren Übungen beweisen, dass für die Varianz diskreter Zufallsvariablen X aus [0,1] Var[X]<=0.25 gilt. Meine Ideen: Meinen Beweis dafür finde etwas stark weit hergeholt, aber vielleicht ist er dennoch richtig. Verschiebungssatz: $\begin{eqnarray} Var[X]=\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}p_{k} -(\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}p_{k})^{2} \end{eqnarray}$ Ableitung nach $\begin{eqnarray} p_{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(p_{k})=x_{k}^{2}-2(\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}p_{k})x_{k}=0 \end{eqnarray}$ Umstellen ergibt $\begin{eqnarray} \frac{x_{k}}{2}=\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}p_{k} \end{eqnarray}$ Das schätze ich ab mit $\begin{eqnarray} \frac{x_{k}}{2}=\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}p_{k} \leq \frac{1}{2} <br /> \end{eqnarray}$ Und füge es wieder in meinen Verschiebungssatz ein: $\begin{eqnarray} Var[X]\leq \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}p_{k}-\frac{1}{4}\leq \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}p_{k}-\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}-\frac{1}{4}= \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Da ich mir bei Abschätzungen sowieso immer recht unsicher bin, freue ich mich eure Meinung dazu zu hören. Außerdem frage ich mich, ob meine Ableitung richtig ist. Danke schon mal für euere Antworten und Mühen, mit Grüßen Marius
04.09.2018, 23:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Voraussetzung "diskret" wird überhaupt nicht benötigt: Für $\begin{eqnarray} 0\leq X\leq 1 \end{eqnarray}$ gilt stets $\begin{eqnarray} X^2\leq X \end{eqnarray}$ , und somit auch $\begin{eqnarray} E\left[X^2\right]\leq E[X] \end{eqnarray}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}[X] = E\left[X^2\right]-(E[X])^2 \leq E[X]-(E[X])^2 = \frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-E[X]\right)^2 \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ , fertig. Jetzt kann man noch diskutieren, wann genau in dieser Ungleichungskette jeweils Gleichheit herrscht: a) Das erste $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ wird zu = nur für Zweipunktverteilungen auf den Intervallrandpunkten, d.h. auf $\begin{eqnarray} \{0,1\} \end{eqnarray}$ . b) Das zweite $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ wird zu = nur für $\begin{eqnarray} E[X] = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Beides zusammen wird nur von der diskreten Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} \{0,1\} \end{eqnarray}$ erfüllt, d.h., $\begin{eqnarray} P(X=0) = P(X=1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Zu deiner Idee: Aus $\begin{eqnarray} 0\leq \sum\limits_{k=1}^n x_kp_k \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}[X] = \sum_{k=1}^n x_k^2p_k - \left(\sum_{k=1}^n x_kp_k\right)^2 ~{\color{red}\geq}~ \sum_{k=1}^n x_k^2p_k - \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ , mit dieser Abschätzung in der verkehrten Richtung wird der Rest deiner Abschätzungszeile unbrauchbar.

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