Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)

04.09.2018, 18:03

MasterWizz

Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)

Hey Leute,

Es geht um das Taylorpolynom der Funktion $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ zum Grad $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ . Und ich habe ein Problem die relative Abweichung zu berechnen.

Es ergibt sich mit dem Restglied nach Lagrange:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x)=\underbrace{x-\frac16 x^3}_{=T_3(x)}+\underbrace{\frac{\sin(\xi)}{24}x^4}_{=R_3(x)},\ \xi\in(0,x) \end{eqnarray*}$

Eine Restgliedabschätzung könnte so aussehen:
$\begin{eqnarray*} |R_3(x)|=\left|\frac{\sin(\xi)}{24}x^4\right| \leq \frac{|x|^4}{24} \end{eqnarray*}$

Angenommen ich möchte den Fehler im Bereich $\begin{eqnarray*} x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right] \end{eqnarray*}$ untersuchen. Da der Restgliedterm = Fehlerterm in diesem Bereich maximal wird am Rand des Bereichs, muss ich doch lediglich pi/4 einsetzen, also $\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]} |R_3(x)| \approx 0,01585 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt der entscheidende Teil: Wie genau berechne ich den relativen Fehler? Meine Idee wäre durch den zugehörigen Funktionswert der Originalfunktion zu teilen:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{T_3(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right| \end{eqnarray*}$
In dem Fall ergibt sich ein rel. Fehler von Rund 2,242%. Ich bezweifle allerdings das Ergebnis, weil das der selbe Rechenweg wie auf Wikipedia zu sein scheint Relativer Fehler und dort kommt für eine Ordnung höher, also $\begin{eqnarray*} \left|\frac{T_4(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right| \end{eqnarray*}$ insgesamt ein Fehler von 0,5% raus. Nach dem hier beschriebenen Weg sollte es aber 0,35% sein.

Könnt ihr bitte kurz eure Meinung dazu schreiben? smile

06.09.2018, 11:39

MasterWizz

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RE: Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)
Was ist eure Meinung zu der Abschätzung?

06.09.2018, 14:16

Huggy

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RE: Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)

Zitat:

Original von MasterWizz
Jetzt kommt der entscheidende Teil: Wie genau berechne ich den relativen Fehler? Meine Idee wäre durch den zugehörigen Funktionswert der Originalfunktion zu teilen:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{T_3(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right| \end{eqnarray*}$
In dem Fall ergibt sich ein rel. Fehler von Rund 2,242%.

Nein, das ergibt sich nicht!!! unglücklich

Dein Ergebnis ergibt sich aus

$\begin{eqnarray*} |\frac {M_3} {\sin (\frac \pi 4)}| \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} |R_3(x)|\leq \frac {(\frac {\pi}{4})^4} {24}=M_3 \end{eqnarray*}$

Das eine ist der tatsächliche relative Fehler, das andere eine Abschätzung des relativen Fehlers.

07.09.2018, 08:05

MasterWizz

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RE: Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)
Ok ich verstehe, also mein Ergebnis von 2,242% ist lediglich eine Abschätzung des relativen Fehlers.

In dem Fall verstehe ich aber nicht die Abschätzung auf Wikipedia. Es wird gesagt, dass der relative Fehler für das Taylorpolynom 4. Grades bei unter 0,5% liegt. Meine Rechnung wäre jedoch:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{T_4(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right|\leq\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^5}{120\frac{\sqrt{2}}{2}}\approx 0,35% \end{eqnarray*}$

Die getroffene Aussage auf wikipedia, dass der Fehler unter 0,5% liegt, stimmt dann zwar. Aber wieso sollte man denn so ein Ergebnis angeben, wenn die Abschätzung doch noch soweit darunter liegt? Deshalb zweifle ich den Rechenweg an und bitte nur kurz um deine Zustimmung, dass der Weg richtig ist, oder falsch verwirrt

08.09.2018, 08:13

Huggy

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RE: Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)

Zitat:

Original von MasterWizz
Die getroffene Aussage auf wikipedia, dass der Fehler unter 0,5% liegt, stimmt dann zwar. Aber wieso sollte man denn so ein Ergebnis angeben, wenn die Abschätzung doch noch soweit darunter liegt?

In der Wikipedia wird die Angabe zu dem relativen Fehler nicht begründet.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{T_4(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right|\leq\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^5}{120\frac{\sqrt{2}}{2}}\approx 0,35% \end{eqnarray*}$

Deshalb zweifle ich den Rechenweg an und bitte nur kurz um deine Zustimmung, dass der Weg richtig ist, oder falsch verwirrt

Dein Ergebnis ist richtig, aber ich sehe keinen Rechenweg angegeben. Aus dem Restglied $\begin{eqnarray*} R_5 \end{eqnarray*}$ ergibt sich, dass der absolute Fehler von $\begin{eqnarray*} T_3=T_4 \end{eqnarray*}$ kleiner gleich $\begin{eqnarray*} |x|^5/120 \end{eqnarray*}$ ist und diese Funktion hat ihr Maximum offensichtlich am Rand des betrachteten Intervalls. Für den relativen Fehler folgt, dass er

$\begin{eqnarray*} \leq \frac {|x|^5}{120 |\sin x|} \end{eqnarray*}$

ist. Diese Funktion hat ihr Maximum zwar auch am Rande des betrachteten Intervalls, was aber zu begründen wäre.

08.09.2018, 11:30

MasterWizz

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RE: Restgliedabschätzung Taylorpolynom von sin(x)
Super vielen Danke smile

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