Fläche eines elliptischen Paraboloids

06.09.2018, 12:57

CTMS

Fläche eines elliptischen Paraboloids

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich möchte die Fläche eines elipptischen Paraboloids berechnen. Ich habe im Anhang ein Bild angefügt welches die Form zeigt.

Mein Hauptproblem ist, dass ich in Mathematik recht wenig bewandert bin und die bei google gefundenen Lösungsvorschläge mein mathematisches Verständniss durchaus überschreiten. Vielleicht können wir zusammen eine Lösung für mich finden.

Ziel soll es sein die Verbundfläche von zervikalen (in Wurzelrichtung) Zahnhalsfüllungen (Klasse V), welche ich vermessen habe, zu berechnen.

Meine Ideen:
Natürlich sehen Zahnhalsfüllungen nicht alle gleich aus, jedoch kommen sie idealisiert einem elliptischen Paraboloid sehr nahe.

Folgende Dimensionen sind bekannt:

Länge = x
Breite = y
Höhe = z

Folgende Formel habe ich gefunden:

https://math.stackexchange.com/questions/339621/surface-area-of-an-elliptic-paraboloid
Tatsächlich muss in diesem Posting die Antwort stecken, denn die Frage ist mit meiner Identisch, nur sehe ich sie höchstwarscheinlich nicht ^^

$\begin{eqnarray*} \int_0^h du \: \left [\sqrt{b^2 \left(a^2+4 u\right)} E\left(\frac{4 \left(b^2-a^2\right) u}{b^2 \left(a^2+4 u\right)}\right)+\sqrt{a^2 \left(b^2+4 u\right)} E\left(\frac{4(a-b) (a+b) u}{a^2 \left(b^2+4 u\right)}\right)\right ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(m) = \int_0^{\pi/2} dx \sqrt{1-m \sin^2{x}} \end{eqnarray*}$

https://math.stackexchange.com/questions/108575/what-does-mean/108659#108659
[erklärung für die formel E = eliptisches Integral

Die erste Antwort schaut vielversprechend aus. So wie ich diese Verstehe muss ich diese nur noch Integrieren.
Mein Problem darin ist, dass ich für E eine Variable 'm' einsetzen muss und ich nicht weiß woher ich diese bekommen bzw. wie ich diese berechnen kann.
Vermutlich über f(x) = mx²+nx+q und dann umstellen?

Desweiteren habe ich folgenden Ansatz gefunden, jedoch auch der erschließt sich mich nicht vollständig: Seite 929

https://pdfs.semanticscholar.org/777c/a4c70930e01f7b5fd6ca89b95b34d1b4b51c.pdf

Hier muss ich zweimal Integrieren. Wozu und mit welchen grenzen ist mir nicht klar.

Ebenso fehlen mir bei folgendem Ansatz wieder Variablen:

http://trecs.se/ellipticParaboloid.php

$\begin{eqnarray*} dA = u \sqrt{4b^2 u^2 \cos^2 v + 4a^2 u^2 \sin^2 v + a^2 b^2}~dudv. \end{eqnarray*}$

Habt ihr noch vorschläge wie ich dieses offenkundig nicht ganz triviale Problem lösen könnte?
Ich würde mich sehr freuen.

Viele Grüße und vielen Dank fürs Zeit investieren!

Tobias

p.s. Alternativ bin ich dabei ein Programm zu schreiben welche mir das Paraboloid in einen 3D-Image-Stack plottet und ich zähle, bei bekanter Voxelgröße, alle Voxel welche weiß sind und berechne mir darüber die Fläche. Jedoch würde ich den Mathematischen weg bevorzugen, da ich diesen Hoffentlich in Excel umsetzten kann. (Dort liegen alle Dimensionen aller Zahnhalsfüllungen vor, und das sind einige hunderte)

06.09.2018, 16:19

Huggy

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RE: Fläche eines elliptischen Paraboloids

Zitat:

Original von CTMS
$\begin{eqnarray*} \int_0^h du \: \left [\sqrt{b^2 \left(a^2+4 u\right)} E\left(\frac{4 \left(b^2-a^2\right) u}{b^2 \left(a^2+4 u\right)}\right)+\sqrt{a^2 \left(b^2+4 u\right)} E\left(\frac{4(a-b) (a+b) u}{a^2 \left(b^2+4 u\right)}\right)\right ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(m) = \int_0^{\pi/2} dx \sqrt{1-m \sin^2{x}} \end{eqnarray*}$

Die erste Antwort schaut vielversprechend aus. So wie ich diese Verstehe muss ich diese nur noch Integrieren.
Mein Problem darin ist, dass ich für E eine Variable 'm' einsetzen muss und ich nicht weiß woher ich diese bekommen bzw. wie ich diese berechnen kann.

$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist das, was in der ersten Formel jeweils innerhalb der großen Klammer nach $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ steht.

Zitat:

Ebenso fehlen mir bei folgendem Ansatz wieder Variablen:

http://trecs.se/ellipticParaboloid.php

$\begin{eqnarray*} dA = u \sqrt{4b^2 u^2 \cos^2 v + 4a^2 u^2 \sin^2 v + a^2 b^2}~dudv. \end{eqnarray*}$

Hier läuft $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \sqrt h \end{eqnarray*}$ .

Beide Integrale lassen sich nur numerisch lösen. Excel bietet dafür meines Wissens keine eingebaute Funktionalität. Auch kennt Excel wohl keine elliptische Integrale. Ich habe beide Formeln mal für $\begin{eqnarray*} a=2, b=1, h=3 \end{eqnarray*}$ mit Mathematica ausgewertet. Zum Glück Big Laugh

stimmten die Ergebnisse überein:

[attach]47968[/attach]

Man kann solche Integrale von Wolframalpha berechnen lassen. Wolframalpha akzeptiert auch halb umgangssprachliche Eingaben, aber eine Eingabe mit der Mathematica-Syntax sollte auf jeden Fall funktionieren.

06.09.2018, 17:06

CTMS

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Hallo Hubby,

vielen Dank für deine Antwort.

Zitat:

m ist das, was in der ersten Formel jeweils innerhalb der großen Klammer nach E steht.

Das hatte ich vermutet, jedoch verlangt ja diese Formel unter der Wurzel folgendes: 1-m sin²x
woher bekomme ich das m?
Ich stehe da wirklich auf dem Schlauch :/
Konkret: Wenn ich diese Formel in meinen Taschenrechner eingebe, was muss ich für das m einsetzen?

Mein Ansatz für Excel wäre, das ich diese Formeln, nach Integration und einseten, in eine Zeile bei Excel händisch eingebe mit den Zellbezügen jeweils zu a, b, u.
Das sollte doch theoretisch möglich sein.

Zitat:

Beide Integrale lassen sich nur numerisch lösen

Ich nehem an, ich muss diese ausrechnen, was meinen obigen Ansatz ja entspricht? Oder? verwirrt

Ich aber auf jeden Fall erstmal beruhigt, das beide Ansätze funktionieren, jetzt muss ich nur noch verstehen was zu tun ist!

Vielen vielen Dank erstmal für deine Hilfe!!

Mit Gruß

Tobias

06.09.2018, 17:38

Huggy

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Zitat:

Original von CTMS
Das hatte ich vermutet, jedoch verlangt ja diese Formel unter der Wurzel folgendes: 1-m sin²x
woher bekomme ich das m?
Ich stehe da wirklich auf dem Schlauch :/
Konkret: Wenn ich diese Formel in meinen Taschenrechner eingebe, was muss ich für das m einsetzen?

Ich bin mir nicht sicher, ob wir jetzt aneinander vorbeireden. In der ersten Formel taucht das elliptische Integral zweimal auf. Beim ersten mal ist

$\begin{eqnarray*} m=\frac{4 (b^2-a^2) u}{b^2 (a^2+4 u)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist also nicht einfach eine Zahl, sondern eine Funktion der Integrationsvariablen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Beim zweiten elliptischen Integral steht da eine etwas andere Funktion. Beide Funktionen kannst du in Excel definieren oder in deinem Taschenrechner, falls der Funktionsdefinitionen erlaubt. Deswegen kann aber zunächst weder Excel noch der Taschenrechner das elliptische Integral als Funktion von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ bestimmen. In Excel muss man also eine Routine zur numerischen integrationen definieren und die dann für das Gesamtintegral anwenden und dabei innerhalb dieses Integrals sie noch mal für das elliptische Integral anwenden.

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