Jede lineare Abbildung R³ nach R² ist surjektiv

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QM Auf diesen Beitrag antworten »
Jede lineare Abbildung R³ nach R² ist surjektiv
Meine Frage:
Hallo, ich hätte da zwei Fragen(und nein es ist keine HA,sondern eine Vorbereitung):

(1) Jede lineare Abbildung f: R^3 -> R^2 ist SURJETIV.
(2) Keine lineare Abbildung f: R^3 -> R^2 ist INJEKTIV.
(Soll es beweisen oder ein Gegenbeispiel finden)



Meine Ideen:
Ich verstehe diese Fragen leider nicht, könnte mir jemand helfen. Ich vermute, dass ich die Dimensionsformel anwenden muss, aber weiß nicht wie.
Prinzipiel verstehe ich nicht ganz den Zusammenhang von surjetiv/injektiv und Dimensionsformel.

Danke im voraus Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal hilft die Praxis schneller als die Theorie ... aber nur manchmal.
zu 1)
Zu jedem Vektorraum gehört ein Körper, jeder Körper hat die beiden Element 0 und 1. Mit 1 kann man in jedem Vektorraum die identische Abbildung bilden. Mit 0 kann man zu je zwei Vektorräumen die Nullabbildung (mit beliebig) bilden.

Sind diese Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv ?

zu 2)
Hier hilft die Betrachtung der Bilder einer Basis von

Und nun die Theorie: Sei linear, dann ist , und es gilt, injektiv , surjektiv
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