Gramsche Matrix und Skalarprodukt |
| 09.09.2018, 15:08 | Amyxy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gramsche Matrix und Skalarprodukt Hey 
Folgendes sind meine Probleme:1.Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum und (v1,...,vn) eine Basis davon. Seien w und u Elemente V und c:=(c1,...cn) als Zeile bzw. d:=(d1,...,dn) als Spalte die Koordinaten n-Tupel von w bzw. u bezüglich (v1,...,vn) und A die Gramsche Matrix des Skalarproduktes auf V bezüglich (v1,...,vn). Dann ist <w|u>=c*A*d. Diese Aussage soll mittels Induktion über n bewiesen werden, aber ich scheitere schon am Induktionsanfang. Wenn n=1 ist, ist sowohl c als auch d als auch A eine einzige Zahl und die Basis besteht aus einem einzigen Vektor, richtig? Aber da ich nicht weiß, um welches Skalarprodukt es sich handelt, stehe ich auf dem Schlauch. Wie soll ich hier vorgehen? 2. Eine nxn Matrix A ist positiv definit, wenn für jede ihrer n Spalten x1,...,xn gilt: xi^{T}*A*xi ist größer als Null. Meine Erklärung in Zusammenhang mit 1. dafür ist: xi ist das Koordinaten-n-Tupel des i-ten Basisvektors von (v1,...,vn). Also ist <vi|vi> stets positiv, was die insgesamte positiv-Definitheit des Skalarproduktes bewirkt.Stimmt diese Überlegung? Frage 1 hat sich erledigt, ich habe es einfach mittels Rechenregeln für Matrizenmultiplikation anstatt mit Induktion gezeigt
Ob meine Überlegungen zu Frage 2 stimmen, würde mich aber trotzdem noch interessieren 
Meine Ideen: Vielen Dank! Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen |
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