Bestimmung der Schnittstellen mittels Iterationsverfahren

09.09.2018, 18:40

Timo1995

Bestimmung der Schnittstellen mittels Iterationsverfahren

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich brüte gerade über einer Mathe Hausaufgabe bezüglich Iterationsverfahren.

Ich sehe leider überhaupt kein Land und muss daher um Hilfe bitten. Vielleicht kann mir ja jemand Hilfe zur Selbsthilfe leisten.

Ich soll die reelen Schnittstellen mittels Iterationsverfahren (meiner Wahl) bestimmen.

f(x) = { x+2, falls x<2 | -x+5, falls x >= 2 }

und

g(x) = e^(x^2)

Und dann soll ich auch nachweisen, dass ich alle Schnittstellen gefunden habe.

Meine Ideen:
Grundsätzlich würde ich beide Funktionen gleichsetzen, wobei ich da schon die erste Schwierigkeit habe mit dem "falls" und ich kapiere das mit dem Näherungsverfahren nicht. Ich stehe leider völlig auf dem Schlauch. Ich habe mir mittlerweile diverse Seiten durchgelesen und Hilfe-Videos auf YT geschaut, die mir sonst immer viel gebracht habe. Aber jetzt bin ich leider aufgeschmissen.

Ich habe schon mal Werte zwischen -2 und +6 für x eingesetzt, um zu gucken wie die beiden Graphen aussehen müssten, aber darüber hinaus bin ich leider nicht gekommen.

10.09.2018, 09:54

Huggy

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RE: Bestimmung der Schnittstellen mittels Iterationsverfahren
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ unstetig. Du kannst dir leicht überlegen, dass für $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} e^{x^2}>f(x) \end{eqnarray*}$

Alle Schnittpunkte sind daher bei $\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$ . Deshalb musst du dich um das falls nicht mehr kümmern. Du kannst du einfach gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} x+2=e^{x^2} \end{eqnarray*}$

Um so etwas numerisch zu lösen, gibt es diverse Verfahren: Newton-Verfahren, Sekantenverfahren, Intervallhalbierung, Fixpunktiteration etc.

Es gibt 2 Schnittpunkte. Wenn du diese gefunden hast, sollte es dir nicht schwer fallen zu begründen, dass es keine weiteren Schnittpunkte gibt.

10.09.2018, 15:39

Timo19951

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Okay, schon mal danke für den Tipp. Beim Zeichnen der beiden Funktionen war mir das auch schon aufgefallen, dass g(x) nur Schnittpunkte hat, bevor die Funktion unstetig wird (sagt man das so?).

Ich setze also gleich und stelle um, sodass auf einer Seite nur noch eine 0 ist, korrekt?

0 = - e^(x^2) + x + 2

d.h.

f(x) = -e^(x^2) + x + 2

dann brauche ich die erste Ableitung,

f'(x) = 1 - 2e^(x^2) x

Das Newton-Verfahren sieht wie folgt aus:

xn+1 = xn - ( f(xn) / f'(xn) )

also einsetzen:

xn+1 =xn - ( (-e^(xn^2) + xn + 2 ) / (1 - 2e^(xn^2) xn) )

und jetzt?

Setze ich für xn einfach irgendwas ein und rechne so lange bis die Ergebnisse sich nicht mehr verändert?

Welchen Startwert x0 wählt man bei sowas am geschicktesten, gibts da einen Rat?

Wenn ich jetzt beispielsweise x0=0 einsetze, dann kommt für f(x) = 1 und f'(x) = 0 raus und die Division durch 0, naja das wird dann eher nichts.

xn+1 =0 - ( (-e^(0^2) + 0 + 2 ) / (1 - 2e^(0^2) 0) )

Also scheint schon irgendwas mit der Formel nicht passen.

Ich dreh durch, die Aufgabe macht mich fertig Tanzen

10.09.2018, 16:02

Timo19952

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(vorab sorry wegen dem Benutzernamen, ich habe mein PW glatt vergessen und kann es zZ nicht zurücksetzen, deswegen schreibe ich als Gast)

Ich bin offensichtlich einem klassischen Rechenfehler aufgesessen.

1 - 2 * (e^0^2) * 0 ist natürlich 1 und nicht 0.

Damit bekommt man dann x1 = 0 - 1 -> x1 = -1

Dann setze ich als nächstes -1 in die Formel. Da wird wieder irgendwas rauskommen und soweiter.

Jetzt die blödeste Frage überhaupt: Was genau mache ich mit dem Wert? Hammer

10.09.2018, 16:08

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Dieser Wert ist die linke reelle Schnittstelle:

Die rechte bekommst Du, wenn Du einen Startwert verwendest, der näher an der liegt.

Viele Grüße
Steffen

10.09.2018, 17:16

HAL 9000

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Verwendet man Startwerte

a) links der ersten Nullstelle, sowie

b) rechts der zweiten Nullstelle,

so bilden die Newton-Approximationswerte in beiden Fällen monotone konvergente Folgen gegen die beiden gesuchten Nullstellen. Das kann man mit der strengen Konvexität der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x):=g(x)-f(x)=\exp(x^2)-x-2 \end{eqnarray*}$ begründen.

11.09.2018, 13:34

Timo1995

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Schon mal tausend Dank. Alles super Tipps, haben mich deutlich weitergebracht.

Ich hätte noch ein weiteres Anliegen. Irgendwas stimmt bei meiner Berechnung nicht. Eigentlich reden wir hier über simple Mathematik, aber irgendwo ist ein Fehler drin und ich habe Betriebsblindheit.

Der X-Wert der linken Schnittstelle liegt offensichtlich bei x=-0,587609xxxx. Das weiß ich, weil ich Zwischenergebnisse bekommen habe, mit denen ich meinen Rechenweg kontrollieren kann. Jetzt einfach das Ergebnis zu nehmen, bringt mir natürlich nichts. Mein Rechenweg muss schon nachvollziehbar sein und verstanden muss ich es auch haben.

Wenn man einen Startwert von x=0 nimmt, ist der erste Wert der rauskommt x1=-1,

wenn man damit weiterrechnet sollte x2=-0,733044 rauskommen.

Ich komme aber auf ein deutlich anderes Ergebnis. An Rundungsfehlern dürfte es dabei nicht liegen, da ich ausreichend Kommastellen mitgenommen haben.

Ich soll gerechnet werde:

[attach]47988[/attach]

Zwischenergebnis wie gesagt: -0,733044

Wenn ich rechne:

x=-1

f(x) = x -e^(x^2) + 2 = -1 - (e^-2) + 2 = 0,864664

f'(x) = 1 - 2e^(x^2) * x = 1- 2e^-2 * -1 = 1,270670

f(x) / f'(x)= 0,680478 (statt -0,266956, da brauche ich gar nicht weiterrechnen. )

Was mache ich falsch, dass ich schon vorm ersten Zwischenergebnis so komplett daneben liege?

Da x=-0,587609 vermutlich stimmt, wenn man sich das Koordinatensystem von Steffen B anguckt, muss ich davon ausgehen, dass meine Berechnung falsch ist.

Danke Leute Gott

11.09.2018, 14:17

HAL 9000

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Dein $\begin{eqnarray*} e^{-2} \end{eqnarray*}$ ist unverständlich: Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} e^{x^2} = e^1 = e \end{eqnarray*}$ ...

11.09.2018, 15:38

Timo1995

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Ich fühle mich richtig dumm. Ich wusste ja, dass irgendwo der Wurm drin ist, aber das ich aus -1² ^-2 gemacht habe will mir gar nicht in den Sinn.

Nun komme ich problemlos auf das Zwischenergebnis.

Nebenbei:
Dein Text sieht bei mir so aus "Dein ist unverständlich: Für ist und somit ... "

Bin ich der einzige der den Latex-Code(?) nicht lesen kann (Fiirefox) ? Auf dem Handy-Browser gehts problemlos.

11.09.2018, 15:42

Steffen Bühler

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Du musst Java zumindest für cloudflare.com erlauben.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2018, 16:15

Timo1995

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Tya, das wärs.

Noch mal herzlichen Dank.

Die beiden (x|y) habe ich jetzt und alle meine Zwischenergebnisse stimmen auch mit den Kontrollwerten überein, sodass ich mir sicher sein kann, dass ich richtig gerechnet habe.

Ohne eure Hilfe würde ich defintiv immer noch rumeiern.

In diesem Sinne danke und Gott

13.09.2018, 18:31

Timo1995

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Mir kam da noch mal was in den Sinn.
Kann man mathematisch beweisen, dass es keine weiteren Schnittstellen gibt, oder begründet man sowas einfach mit nem schlanken Satz?

17.09.2018, 12:42

Steffen Bühler

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Dass es für $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ keine Schnittpunkte gibt, hat Huggy ja schon ansatzweise erklärt. Den Rest könnte man durch die Umwandlung $\begin{eqnarray*} \ln (x+2) = x^2 \end{eqnarray*}$ für den linken und rechten Ast der Parabel über Monotonieüberlegungen schaffen.

Viele Grüße
Steffen

17.09.2018, 16:26

HAL 9000

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Oder bezugnehmend darauf:

Zitat:

Original von HAL 9000
Das kann man mit der strengen Konvexität der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x):=g(x)-f(x)=\exp(x^2)-x-2 \end{eqnarray*}$ begründen.

Es ist $\begin{eqnarray*} h'(x)=2x\exp(x^2)-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h''(x)=(4x^2+2)\exp(x^2) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ streng konvex. Eine solche Funktion kann maximal zwei reelle Nullstellen haben; wegen $\begin{eqnarray*} h(-1)=e-1>0,h(0)=-1<0,h(1)=e-3<0,h(2)=e^4-4>0 \end{eqnarray*}$ in Verbindung mit dem Zwischenwertsatz sind es genau zwei, eine im Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ und die andere im Intervall $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ .

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