Grenzwertbestimmung

10.09.2018, 12:42

leonx44

Grenzwertbestimmung

Hallo zusammen,

Folgende Aufgabe:
(tan(3*x^2)) / (4x^2)
lim x ->0

=> (1/(4*x^2)) * tan(3x^2)
tangens umgeschrieben: (1/4*x^2) * sin(3x^2)/cos(3x^2)

L'hopital angewendet : $\begin{eqnarray*} \frac{3x*cos(3x^2)}{6x*(-sin(3x^2)*4x^2+cos(3x^2)*8x} \end{eqnarray*}$

kommt nichts raus und nochmal l'hopital ist auch sinnlos,
kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe traurig

10.09.2018, 12:57

HAL 9000

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Wer immer gleich ohne Augenmaß L'Hospitial anwendet, muss sich über Monsterterme nicht wundern... Hier wäre Substitution $\begin{eqnarray*} t=3x^2 \end{eqnarray*}$ die klügere Wahl:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan(3x^2)}{4x^2} = \lim_{t\to +0} \frac{3\tan(t)}{4t} = \lim_{t\to +0} \frac{\sin(t)}{t}\cdot \lim_{t\to +0} \frac{3}{4\cos(t)} = 1\cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

basierend auf dem bekannten $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} =1 \end{eqnarray*}$ (von mir aus letzteres auch per L'Hospital).

10.09.2018, 13:18

leonx44

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das mit dem lim t->0 sin(t)/t =1 ist ja genial und auf substitution mit erweitern des nenners wäre ich wohl nicht gekommen von alleine.

dankeschön hal9000, bist ein held Big Laugh

10.09.2018, 13:59

HAL 9000

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Dein Originalweg oben führt richtig abgeleitet aber auch zum Erfolg:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sin(3x^2))'}{(4x^2\cos(3x^2))'} = \frac{6x\cos(3x^2)}{-24x^3\sin(3x^2)+8x\cos(3x^2)} = \frac{3\cos(3x^2)}{-12x^2\sin(3x^2)+4\cos(3x^2)} \to \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist nur nach meinem Geschmack zuviel Rechnerei, vor allem im Nenner. Augenzwinkern

10.09.2018, 15:06

Huggy

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Wenn man den Tangens nicht in Sinus/Cosinus umschreibt, führt L'Hospital drekt und ohne Rechnerei zum Ziel. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} \tan (x) = \frac 1 {\cos^2 (x)} \end{eqnarray*}$

10.09.2018, 17:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
ohne Rechnerei

Ähem, nicht übertreiben. Augenzwinkern