Erwärmung des Poolwassers

10.09.2018, 16:47

Olaf-Ulm

Erwärmung des Poolwassers

Meine Frage:
Ich habe einen Behälter mit 7000 Litern Wasser.
Dieses Wasser hat eine konstante Temparatur von 15 Grad.
Unabhännig von der Außentemparatur, also immer 15 Grad.
Diese 7000 Liter werden mit einer Umwälzpumpe, welche eine Förderleistung von 4500 Litern die Stunde hat, umgewälzt.
(Keine Erwärmung, keine Heizleistung) (Nur Umwälzung)

Jetzt kommt eine zweite Umwälzpumpe dazu mit einer Förderleistung von 450 Litern die Stunde.
Diese 450 Liter Umwälzpumpe saugt das 15 Grad warme Wasser an und gibt es mit 80 Grad Wassertemparatur an die 7000 Liter zurück.

Um wieviel steigt in 10 Stunden die Temparatur des zuvor 15 Grad warmen Wassers?

Meine Ideen:
Vieleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Vielen Dank!

10.09.2018, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Olaf-Ulm
Diese 450 Liter Umwälzpumpe saugt das 15 Grad warme Wasser an und gibt es mit 80 Grad Wassertemparatur an die 7000 Liter zurück.

Im Prozessverlauf saugt aber diese Pumpe Wasser mit Temperatur x Grad an, mit x>15. Gilt die Annahme dann auch noch, dass das zurückgegebene Wasser immer 80 Grad hat (d.h. wird die Wärmezufuhr derart geregelt), unabhängig von dem x, welches zwischenzeitlich ja allmählich ansteigt ? verwirrt

Diese Information wird noch benötigt, um hier rechnen zu können.

10.09.2018, 17:46

Olaf-Ulm

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@HAL9000, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Die Pumpe gibt immer 80 Grad ab.
Egal ob das angesogene Wasser 15 Grad oder 20 Grad hat.

Grüße aus der Saalestadt

Olaf

10.09.2018, 19:00

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} T=T(t) \end{eqnarray*}$ die aktuelle Temperatur zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist, dann wird im Zeitraum $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ das Wasservolumen $\begin{eqnarray*} 450\Delta t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf 80° erwärmt. Das entspricht einer Erwärmung des Gesamtvolumens 7000 l um $\begin{eqnarray*} \Delta T \end{eqnarray*}$ , es gilt damit

$\begin{eqnarray*} 450\Delta t \cdot (80-T) = 7000\Delta T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{450 (80-T)}{7000} \end{eqnarray*}$ ,

im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \Delta t\to 0 \end{eqnarray*}$ ergibt das die lineare Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} \frac{\dd T}{\dd t} = \frac{9(80-T)}{140} \end{eqnarray*}$ , mit Startwert zum Startzeitpunkt $\begin{eqnarray*} T(0)=15 \end{eqnarray*}$ . Deren Lösung ist $\begin{eqnarray*} T(t)=80-65e^{-\frac{9}{140}t} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in Stunden und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in °C.

10.09.2018, 20:18

Steffen Bühler

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Müsste man denn nicht noch den Umwälzvorgang dazurechnen? Es dauert ja etwa anderthalb Stunden, bis die Erwärmung in die kompletten 7000 Liter geflossen ist. Ich muss da mal drüber nachdenken...

Viele Grüße
Steffen

10.09.2018, 21:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Müsste man denn nicht noch den Umwälzvorgang dazurechnen? Es dauert ja etwa anderthalb Stunden, bis die Erwärmung in die kompletten 7000 Liter geflossen ist.

Ich als Physik-Amateur habe die Waffen gestreckt, was die räumliche Temperaturverteilung in dem Pool betrifft. Selbst bei Kenntnis der Geometrie dieses Pools, der Positionen von Zu- und Abflussrohr des 4500l/h-Umwälzers, und auch der Positionen von Zu- und Abflussrohr des 450l/h-Heiz-Umwälzers wüsste ich nicht, wie ich das bewerkstelligen sollte. Deswegen habe ich einfach frech angenommen, dass dieser 4500l/h-Umwälzer eine annähernd gleichmäßige Temperaturverteilung im Pool hinkriegt.

Wenn du das quantitativ solider hinkriegst, umso besser.

10.09.2018, 22:03

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Deswegen habe ich einfach frech angenommen, dass dieser 4500l/h-Umwälzer eine annähernd gleichmäßige Temperaturverteilung im Pool hinkriegt.

Ja, aber eben anderthalb Stunden zeitverzögert. Wie das räumlich aussieht, ist mir auch zu hoch. Aber müsste man nicht eine zweite DGL aufstellen, wie die 450 Liter Heißwasser, die nach einer Stunde zusammenkommen, die Durchschnittstemperatur des Beckens effektiv erst eine halbe Stunde später angehoben haben? Und wenn dann alle 7000 Liter dafür umgewälzt sind, kamen in der Zwischenzeit ja schon wieder 160 Liter dazu...

Wahrscheinlich macht das aber so wenig aus, dass es erlaubt ist, immer die (inhomogene) Durchschnittstemperatur anzusetzen.

10.09.2018, 22:21

HAL 9000

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Vielleicht wäre eine Skizze der Anordnung hilfreich - momentan habe ich nämlich Schwierigkeiten, mir dieses "aber eben anderthalb Stunden zeitverzögert" von der Anordnung her vorzustellen.

11.09.2018, 09:48

Steffen Bühler

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Man könnte die 7000 Liter als Umfang eines Kreises betrachten, auf dem zwei Punkte entlangfahren: ein langsamer mit 450 Liter pro Stunde (das ist die Heizpumpe), und ein schneller mit 4500 l/h (das ist die Umwälzpumpe).

[attach]47987[/attach]

Ich habe mal qualitativ (und nicht ganz maßstäblich...) den Zustand nach einer Stunde eingezeichnet: 450 Liter sind zwar erhitzt, aber noch nicht komplett umgewälzt. Es gibt also noch Stellen im Pool, die 15°C haben. Und nur 4500 Liter kann man jetzt zur Berechnung der Durchschnittstemperatur heranziehen!

Auch wenn der 450-l/h-Punkt ganz herum ist, also nach etwa 15,5 Stunden, muss dieses erhitzte Wasser auch noch vollständig verteilt werden. Das meinte ich mit der Zeitverzögerung. Der andere Punkt muss jetzt noch einmal den Kreis umrunden.

Eine interessante Aufgabe!

11.09.2018, 10:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Eine interessante Aufgabe!

Vor allem hinsichtlich der Modellierung. Augenzwinkern

11.09.2018, 14:22

Huggy

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Müsste man denn nicht noch den Umwälzvorgang dazurechnen?

Muss man oder muss man nicht? Hat sich nicht schon Hamlet mit dieser Frage gequält? Big Laugh

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die von HAL angegebene Lösung auch die angedachte Lösung ist. Also muss man nicht! Die ist aber viel zu einfach. Also muss man doch? Aus Spaß an der Freud machen wir mal ein Modell:

Auf der einen Seite des Behälters werden 4500 l/h entnommen und zur anderen Seite gepumpt. Mit einer zweiten Leitung werden 450 l/h entnommen, auf 80° C erwärmt und auch zur anderen Seite gepumpt. Die beiden Leitungen werden zusammengeführt, ihr Inhalt gut durchmischt und danach dem Behälter auf der anderen Seite wieder zugeführt. Es sei angenommen, dass innerhalb des Behälters keine weitere Durchmischung stattfindet. Es sei $\begin{eqnarray*} T_a \end{eqnarray*}$ die Austrittstemperatur am Behälter und $\begin{eqnarray*} T_e \end{eqnarray*}$ die Eintrittstemperatur auf der anderen Seite. Man hat dann

$\begin{eqnarray*} (4500+450)T_e=4500T_a+ 450\cdot 80 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_e=\frac {4500T_a+ 450\cdot 80}{4950} \end{eqnarray*}$

Es dauert eine Zeit $\begin{eqnarray*} t_D \end{eqnarray*}$ , bis der komplette Inhalt des Zylinders einmal umgepumpt worden ist.

$\begin{eqnarray*} t_D=\frac {7000}{4500+450} \end{eqnarray*}$

In der Zeit $\begin{eqnarray*} 0 \leq t \leq t_D \end{eqnarray*}$ ist daher $\begin{eqnarray*} T_a=T_0 =15° C \end{eqnarray*}$

In dieser Zeit ist

$\begin{eqnarray*} T_e=T_1=\frac {4500\cdot15+ 450\cdot 80}{4950} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich die Rekursion

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}=\frac {4500T_n+ 450\cdot 80}{4950} \end{eqnarray*}$

Der zeitliche Abstand zwischen $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} t_D \end{eqnarray*}$ . Die mittlere Temperatur im Behälter kann bestimmt werden, indem man das Fortschreiten der erhitzten Front innerhalb der Zeiten $\begin{eqnarray*} t \in [nt_D, (n+1)t_D] \end{eqnarray*}$ im Behälter betrachtet.

11.09.2018, 15:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die von HAL angegebene Lösung auch die angedachte Lösung ist.

Allerdings ist das ganze in Schulmathematik gepostet worden, und da ist eine Lösung basierend auf einer quasi-geometrischen Folge wie

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} T_{n+1}=\frac {4500T_n+ 450\cdot 80}{4950} \end{eqnarray*}$

eher plausibel als eine Differentialgleichung. Ich bin mal gespannt, ob der Threadersteller sich mal noch zum "Rohrleitungs-Aufbau" hier äußert.

P.S.: Ich hatte mir übrigens was ganz ähnliches wie du überlegt, allerdings hat in meinen Überlegungen die große Umwälzpumpe die 450l/h heißes Wasser mit 4050l/h Wasser der Temperatur $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ zu dann 4500l/h Wasser der Temperatur $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ vermischt, d.h. 450+4050=4500 statt wie bei dir 450+4500=4950.

11.09.2018, 15:33

Steffen Bühler

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Wie auch immer, die Unterschiede der beiden Funktionen sind marginal:
[attach]47989[/attach]
Durchs Umwälzen geht die Temperatur erwartungsgemäß etwas schneller nach oben, der Effekt bewirkt aber maximal einen Unterschied von knapp 1°C.

Vielen Dank und viele Grüße
Steffen

11.09.2018, 15:45

HAL 9000

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Jedes Modell hat so seine Tücken:

1) Bei meinem ist es die Annahme, dass immer nur Wasser mit der Durchschnittstemperatur angesaugt wird.

2) Bei Huggys Lösung bereitet folgendes Kopfzerbrechen: Wie bringt man es den einzelnen Wassermolekülen bei, sich erst dann erneut ansaugen zu lassen, wenn der ganze Poolinhalt 7000l einmal komplett durch ist? (Ganz zu schweigen davon, dass sie ihre Energie auch nicht an Nachbarmoleküle weitergeben dürfen.) Big Laugh

11.09.2018, 16:14

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
2) Bei Huggys Lösung bereitet folgendes Kopfzerbrechen: Wie bringt man es den einzelnen Wassermolekülen bei, sich erst dann erneut ansaugen zu lassen, wenn der ganze Poolinhalt 7000l einmal komplett durch ist? (Ganz zu schweigen davon, dass sie ihre Energie auch nicht an Nachbarmoleküle weitergeben dürfen.) Big Laugh

Ich hatte ja postuliert:

Zitat:

Es sei angenommen, dass innerhalb des Behälters keine weitere Durchmischung stattfindet.

Das könnte näherungsweise passen, wenn die Länge des Behälters groß gegenüber seinem Querschnitt ist. Bei einem "kurzen" Behälter ist deine Annahme sicher besser. Reale Verhältnisse werden irgendwo dazwischen liegen. Sie sind von der realen Geometrie abhängig und sicher nur numerisch untersuchbar.

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