Stetigkeit von 1/x

Neue Frage »

forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von 1/x
Hallo Leute,

ich weiß, das kam bestimmt des Öfteren. Aber eine Sache lässt mir gerade keine Ruhe.

Ich betrachte:
f: (0,1]

Sei nun .
Außerdem gilt:
Dann:
Also:

Wenn ich diese Gleichung nun nach auflöse, erhalte ich:


Aber es ist doch nicht unmöglich, von daher gilt die Gleichung doch nicht "für alle Epsilon".
Oder sehe ich das falsch?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das siehst Du falsch.
Du definierst Dir implizit ein Delta, welches offensichtlich aber für dein später angegebenes Epsilon überhaupt nicht existiert.
Für lautet deine Definitionsgleichung nämlich und das ist für natürlich unmöglich.
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Für lautet deine Definitionsgleichung nämlich und das ist für natürlich unmöglich.


Ok, das sehe ich natürlich ein Hammer

Zitat:
Das siehst Du falsch.
Du definierst Dir implizit ein Delta, welches offensichtlich aber für dein später angegebenes Epsilon überhaupt nicht existiert.


Du willst darauf hinaus dass ich den formalen Beweis noch gar nicht geführt habe, sondern nur dir vorarbeit?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich nur darauf hinaus, dass es ungeschickt ist das delta implizit zu definieren, anstatt es explizit anzugeben.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung da kann ich gerade nicht folgen.
Ich hab es doch explizit angegeben? verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von 1/x
Zitat:
Original von forbin



Das ist keine explizite Angabe, sondern eine implizite Definition der Variable . Du versuchst erst nach dieser Festlegung eine explizite Darstellung zu finden und scheiterst dementsprechend.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ok. Das sehe ich ein.

Allerdings weiß ich gerade nicht weiter. Du sagst, die Impliziite Definition ungeschickt ist.
Sollte ich also weiter abschätzen, sodass ich den Ausdruck direkt explizit in Delta habe?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von 1/x
Denk mal nicht so kompliziert und schau Dir diese Umformung noch einmal an. Lässt sich daraus nicht etwas machen? Ein Term, der nur noch von und abhängt?
Zitat:
Original von forbin
Also:
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste ich ja ersetzen. Aber dazu fiele mir nur ein: }{2}, was wir aber ja schon hatten.
Das kann ich nach oben gegen 1 abschätzen. Aber auch dann bleibt mir ja übrig.
Das wird also der Term sein ,der mir Probleme macht. Aber ich weiß gerade keinen anderen Ansatz.
unglücklich
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die von Dir angegebene Funktion hat einen beschränkten Definitionsbereich. Eine obere Schranke ist schnell zu finden.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kann ich nur raten, und das ist mir nicht so recht.
Ich denke, die obere Schranke für delta ist 1. Aber das kann nicht stimmen, dann wäre die Funktion ja dort gleichmäßig stetig.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von 1/x
Der Definitionsbereich bezieht sich eigentlich auf x und nicht .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, meine Idee war hier: , aber wir wollen das delta ja eliminieren verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich zu offensichtlich. Du hast (0;1] als Definitionsbereich angegeben, also gilt
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir Leid, aber darauf wäre ich ejtzt echt nicht gekommen. Aber aus folgendem Grund:
Ist es nicht möglich, dass ich mit einem entsprechend großen Delta dieses Intervall verlasse? Dann würde ich doch |x|>1 auch hinbekommen? Was spricht dagegen? traurig

Edit: Dagegen spricht, dass sowohl als auch im Definitionsbereich liegen müssen, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich doch ein wenig überrascht. Der Definitionsbereich ist die Menge, aus der die x-Werte stammen. Sowohl , als auch müssen demnach aus diesem Bereich sein. Ein "Verlassen" des Bereichs ist hier zwar möglich, nur hast Du es dann mit einer anderen Funktion mit größerem Definitionsbereich zu tun.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bedanke mich vielmals, du hast mir sehr geholfen.
Mein Problem ist das genaue Lesen der Definition.
Aber das hilft mir sehr, danke nochmal!
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber gilt denn dann nicht auch
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz:
Wenn Du nun auf hinaus willst, bedenke
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Nicht ganz:


Aber x und x0 sind doch aus dem Intervall (0,1]. Wo ist der Fehler in der Ungleichung ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir Leid, dass ich da mal nachhaken muss, aber meines Erachtens ist die Aufgabe hier nicht gelöst.

Ich sehe hier folgendes:

Zuerst wurde gezeigt.

Wir wollen nun, dass das kleiner ist als , also wird das als Bedingung gesetzt und äquivalent umgeformt zu .

Es reicht also, diese Ungleichung für passendes zu zeigen. Mir scheint aber, hier wurde aus dieser Ungleichung nun gefolgert. Was genau soll das bringen?

Das zeigt nicht, dass , falls und , sondern genau umgekehrt, dass , falls .

Damit ist nichts erreicht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Leider muss ich Guppi Recht geben. Ich habe mich von forbins ersten Posting zu sehr verleiten lassen, Folgerung und Voraussetzung zu vertauschen.

Zu zeigen ist in der Tat:

Nach meinem Fehlstart und in Anbetracht der Tatsache, dass ich die nächsten Tage zeitlich etwas eingeschränkt sein werde, bin ich aus diesem Thread raus.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

danke für den Hinweis. Ich werde mich gleich nochmal an diese Aufgabe setzen und mich hier wieder melden.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ist mein Ansatz der Richtige?
Ich rudere hier nochmal zurück, damit wir bitte von vornherein die Fehler ausmerzen können.
Sei f: (0,1] (0,1]

Es ist:


Kann ich damit weiterrechnen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht ok.

Die Ungleichung , die am Ende bei dir steht ist nicht äquivalent zu dem, was du zeigen willst, sondern folgt aus dem, was du zeigen willst. Das bringt dir also, wie ich auch oben schon geschrieben habe, gar nichts. Denn es ist möglich, dass gilt, aber trotzdem nicht .

Bleib einfach mal bei stehen.

Das ist bei beliebiger Wahl von und und dazu passender Wahl von zu zeigen.

Ich schlage vor, du zeigst, dass unter geeigneter Wahl von folgendes gilt: . Damit kommst du von hier aus weiter.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Nein, das ist nicht ok.

Die Ungleichung , die am Ende bei dir steht ist nicht äquivalent zu dem, was du zeigen willst, sondern folgt aus dem, was du zeigen willst. Das bringt dir also, wie ich auch oben schon geschrieben habe, gar nichts. Denn es ist möglich, dass gilt, aber trotzdem nicht .

Bleib einfach mal bei stehen.

Das ist bei beliebiger Wahl von und und dazu passender Wahl von zu zeigen.

Ich schlage vor, du zeigst, dass unter geeigneter Wahl von folgendes gilt: . Damit kommst du von hier aus weiter.


Puh, leider blicke ich da nicht mehr durch.
Der Hinweis am Ende deines Posts führt mich sicher auf die Lösung, aber ich verstehe schon weiter vorne die Welt nicht mehr.
Zitat:
Bleib einfach mal bei stehen.

An dem Ausdruck stört mich, dass ich das nicht vernünftig abgeschätzt bekomme, wenn ich den Nenner nicht auf die andere Seite bringe.

Aber allgemein bin ich auch gerade durcheinander.
Ich meine, ich habe doch -salopp gesagt- vorgegeben, nämlich als Elemente aus (0,1].
Also kann ich sie doch betraglich abschätzen.
Außerdem ist vorgegeben, nämlich >0.

Das sind meine Voraussetzungen, oder?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das ja ruhig umstellen zu , wenn dir das hilft.
Nur musst du dann diese Ungleichung jetzt zeigen und nicht daraus irgendwas folgern.

Nur unter der Verwendung von .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nur unter der Verwendung von

Aber es geht darum, genau dieses entsprechend zu wählen, richtig?
Du hast mir zwar schon gesagt, wie das sinnvollerweise zu wählen ist. Aber ich möchte gerne das Verfahren soweit verstehen, dass ich diesen Hinweis nicht gebraucht hätte. Von daher sei mir bitte nicht böse, wenn ich wieder weiter vorne einsteige:

Ich weiß:

Warum kann ich das nicht schreiben als:

In meinen Augen habe ich doch nun nichts gefolgert (wie von dir erwähnt), sondern eine Wahl für delta getroffen.

verwirrt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, hier wurde nichts unzulässig gefolgert.

Du darfst aber nicht so setzen, dass es von abhängt, es darf nur von und abhängen. Um das zu sehen, schau dir die Reihenfolge der Quantoren an.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Du darfst aber nicht so setzen, dass es von abhängt, es darf nur von und abhängen. Um das zu sehen, schau dir die Reihenfolge der Quantoren an.


Dann sollte das hier doch gehen:

Schwierige Geburt das Ganze, ich weiß. Aber danach sitzt es auch.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn damit zeigst du nur . Der Faktor fehlt.

Zum Beispiel für ist also das, was du zeigen musst, um einen Faktor 2 kleiner, als das, was du wirklich zeigst. Je kleiner x wird, desto schlimmer wird es.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir klarmachen, dass deine Zeile eine Folgerung aus dem zu zeigenden ist. Damit ist es schwächer, als das, was du eigentlich zeigen willst. Wenn du nun diese schwächere Aussage zeigst, hast du noch nicht die stärkere Aussage gezeigt, die eigentlich zu zeigen wäre.

Ich bin genau aus diesem Grund kein Fan des äquivalenten Umformens des zu zeigenden zum Zwecke des Beweises. Man kann das machen, um sich einen Plan aufzustellen, was man machen möchte, sollte dann aber den letztendlichen Beweis klar so aufbauen, dass man bei der Voraussetzung Anfänge, folgert folgert folgert und am Ende die Behauptung da steht.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich bin euch wirklich sehr dankbar für die Geduld und die Antworten, aber ich bekomme das leider nicht auf die Reihe. unglücklich
Ich war der Meinung, das Kriterium verinnerlicht zu haben, aber das hier zeigt mir das Gegenteil
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Doch. Zumindest hab ich jetzt die stetigkeit ein bisschen verstanden und warum es hier nicht so geht.

Daher nochmal hierzu:

Zitat:
Original von Guppi12
Bleib einfach mal bei stehen.

Das ist bei beliebiger Wahl von und und dazu passender Wahl von zu zeigen.

Ich schlage vor, du zeigst, dass unter geeigneter Wahl von folgendes gilt: . Damit kommst du von hier aus weiter.


Das ist mir zum Verständnis leider zu sehr "rausgegriffen".
Wie kommst du auf den Hinweis ? Genau das muss ich verstehen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »