Stetigkeit von 1/x

11.09.2018, 19:51

forbin

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Stetigkeit von 1/x

Hallo Leute,

ich weiß, das kam bestimmt des Öfteren. Aber eine Sache lässt mir gerade keine Ruhe.

Ich betrachte:
f: (0,1] $\begin{eqnarray*} \rightarrow \mathbb R, x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .
Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} x\leq|x| \Leftrightarrow x\leq|x| = |x-x_{0}+x_{0}|\leq|x-x_{0}|+|x_{0}|<\delta+|x_{0}| \end{eqnarray*}$
Dann: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})| = |\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|\cdot |x_{0}|}<\epsilon \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x-x_{0}|<\epsilon\cdot |x|\cdot|x_{0}| < \epsilon\cdot|x_{0}|\cdot(|x_{0}|+\delta) :=\delta \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Gleichung nun nach $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auflöse, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon\cdot|x_{0}|^{2}}{1-\epsilon\cdot x_{0}} \end{eqnarray*}$

Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} 1 = \epsilon\cdot x_{0} \end{eqnarray*}$ nicht unmöglich, von daher gilt die Gleichung doch nicht "für alle Epsilon".
Oder sehe ich das falsch?

11.09.2018, 22:01

Helferlein

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Das siehst Du falsch.
Du definierst Dir implizit ein Delta, welches offensichtlich aber für dein später angegebenes Epsilon überhaupt nicht existiert.
Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon :=\frac1{x_0} \end{eqnarray*}$ lautet deine Definitionsgleichung nämlich $\begin{eqnarray*} |x_0|+\delta=\delta \end{eqnarray*}$ und das ist für $\begin{eqnarray*} |x_0|>0 \end{eqnarray*}$ natürlich unmöglich.

11.09.2018, 22:59

forbin

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Zitat:

Original von Helferlein
Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon :=\frac1{x_0} \end{eqnarray*}$ lautet deine Definitionsgleichung nämlich $\begin{eqnarray*} |x_0|+\delta=\delta \end{eqnarray*}$ und das ist für $\begin{eqnarray*} |x_0|>0 \end{eqnarray*}$ natürlich unmöglich.

Ok, das sehe ich natürlich ein Hammer

Hammer

Zitat:

Das siehst Du falsch.
Du definierst Dir implizit ein Delta, welches offensichtlich aber für dein später angegebenes Epsilon überhaupt nicht existiert.

Du willst darauf hinaus dass ich den formalen Beweis noch gar nicht geführt habe, sondern nur dir vorarbeit?

11.09.2018, 23:06

Helferlein

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Ich wollte eigentlich nur darauf hinaus, dass es ungeschickt ist das delta implizit zu definieren, anstatt es explizit anzugeben.

11.09.2018, 23:38

forbin

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Entschuldigung da kann ich gerade nicht folgen.
Ich hab es doch explizit angegeben? verwirrt

verwirrt

11.09.2018, 23:52

Helferlein

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RE: Stetigkeit von 1/x

Zitat:

Original von forbin
$\begin{eqnarray*} \epsilon\cdot|x_{0}|\cdot(|x_{0}|+\delta) :=\delta \end{eqnarray*}$

Das ist keine explizite Angabe, sondern eine implizite Definition der Variable $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ . Du versuchst erst nach dieser Festlegung eine explizite Darstellung zu finden und scheiterst dementsprechend.

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11.09.2018, 23:59

forbin

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Ach, ok. Das sehe ich ein.

Allerdings weiß ich gerade nicht weiter. Du sagst, die Impliziite Definition ungeschickt ist.
Sollte ich also weiter abschätzen, sodass ich den Ausdruck direkt explizit in Delta habe?

12.09.2018, 00:06

Helferlein

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RE: Stetigkeit von 1/x
Denk mal nicht so kompliziert und schau Dir diese Umformung noch einmal an. Lässt sich daraus nicht etwas machen? Ein Term, der nur noch von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängt?

Zitat:

Original von forbin
Also: $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<\epsilon\cdot |x|\cdot|x_{0}| \end{eqnarray*}$

12.09.2018, 01:34

forbin

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Dann müsste ich ja $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ ersetzen. Aber dazu fiele mir nur ein: $\begin{eqnarray*} |x|<|x_{0}|+\frac{\delta \end{eqnarray*}$ }{2}, was wir aber ja schon hatten.
Das $\begin{eqnarray*} |x_{0}| \end{eqnarray*}$ kann ich nach oben gegen 1 abschätzen. Aber auch dann bleibt mir ja $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ übrig.
Das wird also der Term sein ,der mir Probleme macht. Aber ich weiß gerade keinen anderen Ansatz.
unglücklich

unglücklich

12.09.2018, 13:02

Helferlein

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Die von Dir angegebene Funktion hat einen beschränkten Definitionsbereich. Eine obere Schranke ist schnell zu finden.

12.09.2018, 13:08

forbin

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Jetzt kann ich nur raten, und das ist mir nicht so recht.
Ich denke, die obere Schranke für delta ist 1. Aber das kann nicht stimmen, dann wäre die Funktion ja dort gleichmäßig stetig.

12.09.2018, 16:24

Helferlein

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RE: Stetigkeit von 1/x
Der Definitionsbereich bezieht sich eigentlich auf x und nicht $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ .

12.09.2018, 21:13

forbin

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Ja, meine Idee war hier: $\begin{eqnarray*} |x| < 1 + \delta \end{eqnarray*}$ , aber wir wollen das delta ja eliminieren verwirrt

verwirrt

12.09.2018, 21:50

Helferlein

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Wahrscheinlich zu offensichtlich. Du hast (0;1] als Definitionsbereich angegeben, also gilt $\begin{eqnarray*} |x|\leq1 \end{eqnarray*}$

12.09.2018, 22:30

forbin

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Es tut mir Leid, aber darauf wäre ich ejtzt echt nicht gekommen. Aber aus folgendem Grund:
Ist es nicht möglich, dass ich mit einem entsprechend großen Delta dieses Intervall verlasse? Dann würde ich doch |x|>1 auch hinbekommen? Was spricht dagegen? traurig

traurig

Edit: Dagegen spricht, dass sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich liegen müssen, oder?

12.09.2018, 22:49

Helferlein

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Jetzt bin ich doch ein wenig überrascht. Der Definitionsbereich ist die Menge, aus der die x-Werte stammen. Sowohl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ müssen demnach aus diesem Bereich sein. Ein "Verlassen" des Bereichs ist hier zwar möglich, nur hast Du es dann mit einer anderen Funktion mit größerem Definitionsbereich zu tun.

12.09.2018, 23:09

forbin

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Ich bedanke mich vielmals, du hast mir sehr geholfen.
Mein Problem ist das genaue Lesen der Definition.
Aber das hilft mir sehr, danke nochmal!

13.09.2018, 00:34

forbin

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Aber gilt denn dann nicht auch $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}| < \epsilon\cdot|x|\cdot|x_{0}|<\epsilon? \end{eqnarray*}$

13.09.2018, 01:43

Helferlein

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Nicht ganz: $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}| < \epsilon\cdot|x|\cdot|x_{0}|\leq \epsilon? \end{eqnarray*}$
Wenn Du nun auf $\begin{eqnarray*} \delta=\varepsilon \end{eqnarray*}$ hinaus willst, bedenke $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac1{x_0} \end{eqnarray*}$

13.09.2018, 01:57

forbin

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Zitat:

Original von Helferlein
Nicht ganz: $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}| < \epsilon\cdot|x|\cdot|x_{0}|\leq \epsilon? \end{eqnarray*}$

Aber x und x0 sind doch aus dem Intervall (0,1]. Wo ist der Fehler in der Ungleichung ?

13.09.2018, 09:14

Guppi12

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Es tut mir Leid, dass ich da mal nachhaken muss, aber meines Erachtens ist die Aufgabe hier nicht gelöst.

Ich sehe hier folgendes:

Zuerst wurde $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| = \frac{|x-x_0|}{|x||x_0|} \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Wir wollen nun, dass das kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , also wird das als Bedingung gesetzt und äquivalent umgeformt zu $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon |x| |x_0| \end{eqnarray*}$ .

Es reicht also, diese Ungleichung für passendes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Mir scheint aber, hier wurde aus dieser Ungleichung nun $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gefolgert. Was genau soll das bringen?

Das zeigt nicht, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon|x||x_0| \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ , sondern genau umgekehrt, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon|x||x_0| \end{eqnarray*}$ .

Damit ist nichts erreicht.

13.09.2018, 23:05

Helferlein

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Leider muss ich Guppi Recht geben. Ich habe mich von forbins ersten Posting zu sehr verleiten lassen, Folgerung und Voraussetzung zu vertauschen.

Zu zeigen ist in der Tat: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0~\exists \delta>0:~\left(|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\right) \end{eqnarray*}$

Nach meinem Fehlstart und in Anbetracht der Tatsache, dass ich die nächsten Tage zeitlich etwas eingeschränkt sein werde, bin ich aus diesem Thread raus.

14.09.2018, 13:18

forbin

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Hallo Leute,

danke für den Hinweis. Ich werde mich gleich nochmal an diese Aufgabe setzen und mich hier wieder melden.

14.09.2018, 22:07

forbin

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Nun, ist mein Ansatz der Richtige?
Ich rudere hier nochmal zurück, damit wir bitte von vornherein die Fehler ausmerzen können.
Sei f: (0,1] $\begin{eqnarray*} \rightarrow\mathbb R^{+}, x\mapsto x^{-1}, \text{ außerdem } \epsilon > 0\text{ und } x\in \end{eqnarray*}$ (0,1]

Es ist:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})| = \frac{|x-x_{0}|}{|x|\cdot |x_{0}|} = \frac{|x-x_{0}|}{x\cdot x_{0}} < \epsilon \Leftrightarrow |x-x_{0}| < \epsilon\cdot x\cdot x_{0}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Kann ich damit weiterrechnen?

14.09.2018, 22:39

Guppi12

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Nein, das ist nicht ok.

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , die am Ende bei dir steht ist nicht äquivalent zu dem, was du zeigen willst, sondern folgt aus dem, was du zeigen willst. Das bringt dir also, wie ich auch oben schon geschrieben habe, gar nichts. Denn es ist möglich, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt, aber trotzdem nicht $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Bleib einfach mal bei $\begin{eqnarray*} \frac{|x-x_0|}{x\cdot x_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ stehen.

Das ist bei beliebiger Wahl von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und dazu passender Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Ich schlage vor, du zeigst, dass unter geeigneter Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} x>\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit kommst du von hier aus weiter.

15.09.2018, 15:10

forbin

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Zitat:

Original von Guppi12
Nein, das ist nicht ok.

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , die am Ende bei dir steht ist nicht äquivalent zu dem, was du zeigen willst, sondern folgt aus dem, was du zeigen willst. Das bringt dir also, wie ich auch oben schon geschrieben habe, gar nichts. Denn es ist möglich, dass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt, aber trotzdem nicht $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Bleib einfach mal bei $\begin{eqnarray*} \frac{|x-x_0|}{x\cdot x_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ stehen.

Das ist bei beliebiger Wahl von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und dazu passender Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Ich schlage vor, du zeigst, dass unter geeigneter Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} x>\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit kommst du von hier aus weiter.

Puh, leider blicke ich da nicht mehr durch.
Der Hinweis am Ende deines Posts führt mich sicher auf die Lösung, aber ich verstehe schon weiter vorne die Welt nicht mehr.

Zitat:

Bleib einfach mal bei $\begin{eqnarray*} \frac{|x-x_0|}{x\cdot x_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ stehen.

An dem Ausdruck stört mich, dass ich das nicht vernünftig abgeschätzt bekomme, wenn ich den Nenner nicht auf die andere Seite bringe.

Aber allgemein bin ich auch gerade durcheinander.
Ich meine, ich habe doch -salopp gesagt- $\begin{eqnarray*} x_{0} \text{ und } x \end{eqnarray*}$ vorgegeben, nämlich als Elemente aus (0,1].
Also kann ich sie doch betraglich abschätzen.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ vorgegeben, nämlich >0.

Das sind meine Voraussetzungen, oder?

15.09.2018, 20:25

Guppi12

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Du kannst das ja ruhig umstellen zu $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon |x||x_0| \end{eqnarray*}$ , wenn dir das hilft.
Nur musst du dann diese Ungleichung jetzt zeigen und nicht daraus irgendwas folgern.

Nur unter der Verwendung von $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ .

16.09.2018, 15:40

forbin

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Zitat:

Nur unter der Verwendung von $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$

Aber es geht darum, genau dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ entsprechend zu wählen, richtig?
Du hast mir zwar schon gesagt, wie das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sinnvollerweise zu wählen ist. Aber ich möchte gerne das Verfahren soweit verstehen, dass ich diesen Hinweis nicht gebraucht hätte. Von daher sei mir bitte nicht böse, wenn ich wieder weiter vorne einsteige:

Ich weiß: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon \Leftrightarrow |x-x_{0}| < \epsilon\cdot x\cdot x_{0} \end{eqnarray*}$

Warum kann ich das nicht schreiben als: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon \Leftrightarrow |x-x_{0}| < \delta := \epsilon\cdot x\cdot x_{0} \end{eqnarray*}$

In meinen Augen habe ich doch nun nichts gefolgert (wie von dir erwähnt), sondern eine Wahl für delta getroffen.

verwirrt

verwirrt

16.09.2018, 16:43

Guppi12

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Das stimmt, hier wurde nichts unzulässig gefolgert.

Du darfst aber $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht so setzen, dass es von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, es darf nur von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängen. Um das zu sehen, schau dir die Reihenfolge der Quantoren an.

16.09.2018, 21:54

forbin

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Zitat:

Original von Guppi12
Du darfst aber $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht so setzen, dass es von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, es darf nur von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängen. Um das zu sehen, schau dir die Reihenfolge der Quantoren an.

Dann sollte das hier doch gehen:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon \Leftrightarrow |x-x_{0}| < \epsilon\cdot |x| \cdot |x_{0}| < \epsilon \cdot |x_{0}| := \delta \end{eqnarray*}$
Schwierige Geburt das Ganze, ich weiß. Aber danach sitzt es auch.

17.09.2018, 08:08

Guppi12

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Nein, denn damit zeigst du nur $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon |x_0| \end{eqnarray*}$ . Der Faktor $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ fehlt.

Zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} x=1/2 \end{eqnarray*}$ ist also das, was du zeigen musst, um einen Faktor 2 kleiner, als das, was du wirklich zeigst. Je kleiner x wird, desto schlimmer wird es.

17.09.2018, 09:45

Guppi12

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Du musst dir klarmachen, dass deine Zeile $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < |xx_0|\epsilon < |x_0|\epsilon \end{eqnarray*}$ eine Folgerung aus dem zu zeigenden ist. Damit ist es schwächer, als das, was du eigentlich zeigen willst. Wenn du nun diese schwächere Aussage zeigst, hast du noch nicht die stärkere Aussage gezeigt, die eigentlich zu zeigen wäre.

Ich bin genau aus diesem Grund kein Fan des äquivalenten Umformens des zu zeigenden zum Zwecke des Beweises. Man kann das machen, um sich einen Plan aufzustellen, was man machen möchte, sollte dann aber den letztendlichen Beweis klar so aufbauen, dass man bei der Voraussetzung Anfänge, folgert folgert folgert und am Ende die Behauptung da steht.

21.09.2018, 00:01

forbin

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Also, ich bin euch wirklich sehr dankbar für die Geduld und die Antworten, aber ich bekomme das leider nicht auf die Reihe. unglücklich

unglücklich

Ich war der Meinung, das Kriterium verinnerlicht zu haben, aber das hier zeigt mir das Gegenteil

21.09.2018, 01:42

forbin

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Doch. Zumindest hab ich jetzt die stetigkeit ein bisschen verstanden und warum es hier nicht so geht.

Daher nochmal hierzu:

Zitat:

Original von Guppi12
Bleib einfach mal bei $\begin{eqnarray*} \frac{|x-x_0|}{x\cdot x_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ stehen.

Das ist bei beliebiger Wahl von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und dazu passender Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Ich schlage vor, du zeigst, dass unter geeigneter Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} x>\frac{x_0}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit kommst du von hier aus weiter.

Das ist mir zum Verständnis leider zu sehr "rausgegriffen".
Wie kommst du auf den Hinweis ? Genau das muss ich verstehen.

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