Summe einer geometrischen Folge ausrechnen

11.09.2018, 23:40

Vinicius7

Summe einer geometrischen Folge ausrechnen

Irgendwie kann es nicht so schwierig sein, aber ich komme nicht auf das Ergebnis verwirrt

Ich habe die Folge 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Die Summe davon ist 254.

Aber ich wollte das Ganze gerne mit der geometrischen Summenformel ausrechnen.
$\begin{eqnarray*} \frac{1-2^{8}}{1-2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-255}{-1} \end{eqnarray*}$ = 255

Das habe ich raus. Wo ist mein Denkfehler?

12.09.2018, 00:00

Helferlein

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Die Formel, die Du benutzt, fängt mit $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ an. Deine Folge startet aber erst mit $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ .

12.09.2018, 10:10

Vinicius7

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Und wie muss ich die Rechnung dann umstellen?

Was ich habe, ist ja:

$\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a*q^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=2 \end{eqnarray*}$

Die Formel ist, soweit ich weiß: $\begin{eqnarray*} \frac{a*(1-q^{n})}{1-q} \end{eqnarray*}$ . Und da habe ich dann eben das Ergebnis von oben.

12.09.2018, 10:31

klarsoweit

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Großer Irrtum: das ist keine Formel, sondern nur ein hingeknallter Term, der absolut gar nichts aussagt. So wird eine Formel daraus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a \cdot q^k = a \cdot \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du prüfen, wie das auf deine Summe paßt. Das ist offensichtlich nicht der Fall, denn in deiner Summe fehlt der Summand 1. Das läßt sich aber leicht beheben, denn aus der obigen Formel folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a \cdot q^k = a \cdot \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} - a = a \cdot \frac{q^{n+1} - q}{q-1} \end{eqnarray*}$

Es ist immer wieder erstaunlich, warum man eine Formel, die man nutzen möchte, nicht erst mal hinschreibt und dann prüft, ob die verlangten Voraussetzungen überhaupt erfüllt sind. geschockt

12.09.2018, 11:40

Vinicius7

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Zitat:

Original von klarsoweit
Großer Irrtum: das ist keine Formel, sondern nur ein hingeknallter Term, der absolut gar nichts aussagt.

Ja gut, ich wusste nur nicht, wie man das Summenzeichen schreibt.

Zitat:

Original von klarsoweit
Und jetzt kannst du prüfen, wie das auf deine Summe paßt. Das ist offensichtlich nicht der Fall, denn in deiner Summe fehlt der Summand 1. Das läßt sich aber leicht beheben, denn aus der obigen Formel folgt:

Das verstehe ich. Vorher war mir nur nicht klar, dass es eine Rolle spielt, welche Zahl am Anfang der Folge steht, aber es macht natürlich Sinn, dass man die Formel ändern muss.

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a \cdot q^k = a \cdot \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} - a = a \cdot \frac{q^{n+1} - q}{q-1} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich $\begin{eqnarray*} 1*\frac{2^{8}-2}{2-1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =1*\frac{256-2}{2-1}=\frac{254}{1}=254 \end{eqnarray*}$

Dankeschön Freude

12.09.2018, 11:50

mYthos

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Zitat:

Original von Vinicius7
...
Ja gut, ich wusste nur nicht, wie man das Summenzeichen schreibt.
...

Du kanst ja stattdessen auch einfach $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ hinschreiben, Hauptsache, es steht dann eine Gleichung da.

mY+

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