Erwartungswert von Summe aus Maximum, Minimum und Kehrbrüchen

12.09.2018, 16:13

Gast174822

Erwartungswert von Summe aus Maximum, Minimum und Kehrbrüchen

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem: Gegeben sei eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die den support $\begin{eqnarray*} [a,\infty) \end{eqnarray*}$ hat, wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine positive Zahl ist.
Nun seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhänginge Zufallsvariablen gegeben, die die gleiche Verteilung wie X haben.

Nun möchte ich beweisen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E\big(\max(X_1,...,X_n)-\min(X_1,...,X_n)\big)>\mathbb E\big(\max(1/X_1,...,1/X_n)-\min(1/X_1,...,1/X_n)\big) \end{eqnarray*}$

da selbstverständlich gilt $\begin{eqnarray*} \max(1/X_1,...,1/X_n)=1/\min\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} \min(1/X_1,...,1/X_n)=1/\max\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray*}$

Wenn wir also Maximum einfach als M und minimum als m bezeichnen, will ich beweisen, dass das hier gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E\big(M-m+1/M-1/m\big)>0 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht sicher, ob das wirklich stimmt, aber es dürfte sicherlich stimmen, wenn n groß genug ist, weil X ein unendlich großes Intervall als Support hat und 1/X nur Support in dem Intervall (0,1/a) besitzt.

Deswegen interessiert mich, ob dies immer gilt oder, wenn nicht, ob es Möglichkeiten gibt, das in Abhängigkeit von n darzustellen.

Über Ideen freue ich mich

12.09.2018, 16:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast174822
Nun möchte ich beweisen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E\big(\max(X_1,...,X_n)-\min(X_1,...,X_n)\big)>\mathbb E\big(\max(1/X_1,...,1/X_n)-\min(1/X_1,...,1/X_n)\big) \end{eqnarray*}$

Ich würd mal spontan sagen, dass das falsch ist - schon weil es von den "Maßeinheiten" nicht stimmt:

Wenn z.B. die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ Längenwerte sind (Maßeinheit [m]), dann steht links was [m] und rechts dagegen [1/m]. Da lässt sich leicht ein Gegenbeispiel basteln - willst du drauf warten? Dann bau ich dir eins für n=2.

Hast du womöglich irgendwo einen Kehrwert vergessen (links oder rechts) ?

12.09.2018, 16:32

Gast174822

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Hm, ja ein Gegenbeispiel wäre nett;

Ich denke, du wirst das so machen, oder? X ist z.B. zu 99.9% im Intervall I=[0.005, 0.01] verteilt und zu 0.001 irgendwie im Intervall von 0.01 bis unendlich

Das wäre der Erwartungswert vom maximum-minimum von X recht klein, aber für den Kehrbruch vermutlich recht groß..
Willst du es so in etwa konstruieren?

12.09.2018, 16:36

HAL 9000

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Gegenbeispiel: Diskrete Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \left\{a,1\right\} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P\left(X_k=a\right) = P\left(X_k=1\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2 \end{eqnarray*}$ . Passt für alle $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ dürfte deine Behauptung allerdings stimmen (zumindest mit > statt >), aber davon steht ja oben nichts.

------------------------------------------------------------------------------

Es ist $\begin{eqnarray*} M-m+\frac{1}{M}-\frac{1}{m} = \frac{(M-m)(Mm-1)}{Mm} \end{eqnarray*}$ , daran sieht man eigentlich schon alles:

Wie man im Fall $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel konstruiert, und warum man die Ungleichung im Fall $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ beweisen kann. Augenzwinkern

12.09.2018, 16:44

Gast174822

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Ich brauche so etwas in der Art für meine Masterarbeit... Letztendlich geht es um eine Funktion, die ein paar Atome und ein paar stetige Teile hat und den oben genannten Support hat...

Ich denke, allgemein ist es eher falsch - allerdings kann man vielleicht ein paar Bedingungen daran knüpfen, dass es richtig wird.
Es hängt wohl von n, von a und der Masse von a bzw. dem Gebiet von a ab (d.h.ob die Wahrscheinlichkeit von Werten um a sehr groß ist)

PS: Dein Beispiel geht so nicht, weil ich angenommen, habe, dass der Support von x ein unendliches Intervall von a bis unendlich ist;
Aber, dass meine Aussage allgemein falsch ist, ist natürlich trotzdem leider wahr

12.09.2018, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast174822
PS: Dein Beispiel geht so nicht, weil ich angenommen, habe, dass der Support von x ein unendliches Intervall von a bis unendlich ist;

Das ist überhaupt kein Hinderungsgrund: Legt man eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Masse geeignet auf den Rest des Intervalls und betrachtet dann $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ , kommt man zwangsläufig wieder in die Gegenbeispiel-Zone.

Ich wollte es nur nicht unnötig kompliziert machen, nur um krampfhaft die m.E. unsinnige Forderung $\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(X)=[a,\infty) \end{eqnarray*}$ (statt des eher plausiblen $\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(X)\subseteq [a,\infty) \end{eqnarray*}$ ) zu erfüllen.

12.09.2018, 16:55

Gast174822

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Stimmt, dann passt es...

Dass es für a immer gilt, kann man an deiner Gleichung sehr gut sehen - letztendlich ist das natürlich etwas zu leicht - wir wollen ja nur, dass es für den Erwartungswert stimmen;

Aber je länger ich es mir überlege, desto mehr gelange ich zu der Überzeugung, dass selbst bei einer Wahrscheinlichkeit von P(x<1)=0.001 ich noch Gegenbeispiele finde, damit es nicht klappt, kann das sein?

12.09.2018, 17:01

HAL 9000

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Nochmal: Für jedes $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ wird man ein Gegenbeispiel angeben können.

12.09.2018, 17:07

Gast174822

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Kannst du mir mal ein allgemein gültiges Beispiel finden, sodass für beliebiges a und beliebiges P(1)=P(x<1) die Aussage widerlegt wird?

Wobei P(1) und a unabhängig voneinander sind?

12.09.2018, 17:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast174822
sodass für beliebiges a [...] die Aussage widerlegt wird?

Ich habe oben klar und deutlich kenntlich gemacht, dass die Behauptung für $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ stimmt, und es deswegen da kein Gegenbeispiel geben kann. Forum Kloppe

Und für $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ habe ich bereits ein Gegenbeispiel oben angegeben - Ok, "nur" mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(X)\subset [a,\infty) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(X)=[a,\infty) \end{eqnarray*}$ . Um letzteres kannst du dich dann ja bemühen, wenn dir soviel daran liegt. Augenzwinkern

12.09.2018, 17:42

Gast174822

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Du hast mich glaube ich nicht verstanden bzw. ich habe auch einen Schreibfehler;

Was mich interessiert ist, ob man für ein beliebiges a<1 für JEDES P(1) ein Beispiel finden kann, oder P(1) von der Wahl von a abhängt:

Um genau zu sein, ist das Beispiel sogar geeignet um alles zu zeigen

$\begin{eqnarray*} E(M)=a(1/2)^n+1-(1/2)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E(m)=(1/2)^n+(1-(1/2)^n)a \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E(1/M)=(1/a)(1/2)^n+1-(1/2)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E(1/m)=(1/2)^n+(1-(1/2)^n)(1/a) \end{eqnarray*}$

Also ergibt

$\begin{eqnarray*} E(m-m+1/M-1/m)=(1/2)^n(a-1+1/a-1)+(1-(1/2)^n)(1-a+1-1/a)=(1/2)^n(a+1/a-2)-(1-(1/2)^n)(a+1/a-2)=(a+1/a-2)(1/2^{n-1}-1) \end{eqnarray*}$

Denn a ist positiv und damit ist die Klammer mit dem a immer positiv, die andere Klammer mit den 1/n und dem n, dagegeben immer negativ, auch wenn wir eine kleinere Wahrscheinlichkeit genommen hätten

13.09.2018, 09:22

HAL 9000

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Aus Darstellung

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} M-m+\frac{1}{M}-\frac{1}{m} = \frac{(M-m)(Mm-1)}{Mm} \end{eqnarray*}$

sollte ohnehin klar sein, dass im Fall $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{supp}(X_k)\subseteq [a,1] \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} E\left(M-m+\frac{1}{M}-\frac{1}{m}\right)\leq 0 \end{eqnarray*}$ folgt, sogar $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ nicht gerade eine Einpunktverteilung besitzt.

Das beinhaltet auch irgendwelche Verteilungen mit $\begin{eqnarray*} P(a\leq X < 1)=:q \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(X=1)=1-q \end{eqnarray*}$ bei beliebig gewähltem $\begin{eqnarray*} q\in (0,1) \end{eqnarray*}$ .

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