Fläche Hyperbel

13.09.2018, 14:26

Equester

Fläche Hyperbel

Könnte sich wer erbarmen und mir aus dem Teufelskreis helfen? Komme auf keinen grünen Zweig traurig

.

Folgende Auffälligkeit (der Einfachthalber sei nur der erste Quadrant von Interesse und wir haben f(x) = 1/x; g(x) = 1/x^2 und h(x) = 1/x^3):

Wenn ich den Flächeninhalt von x = a (mit a gegen 0) und x = 3 berechnen will, so erhalten ich in allen drei Fällen den Flächeninhalt A = unendlich. Das passt.

Wenn ich aber nun den Flächeninhalt von x = 3 bis x = b (mit b gegen unendlich) berechnen will, so erhalte ich für f(x) ebenfalls B = unendlich, hingegen für die beiden anderen Hyperbeln einen endlichen Flächeninhalt. Graphisch kann ich mir das gar nicht erklären. Weder das unterschiedliche Verhalten von f(x) gegenüber g(x) und h(x), noch das unterschiedliche Verhalten vom Flächeninhalt im ersten bzw. zweiten Intervall (g(x), h(x): Einmal endlich, einmal unendlich).
Generell hätte ich in allen Fällen ein Verhalten wie bei f(x) erwartet. Das erscheint mir am logischsten verwirrt

.
Auffällig ist natürlich der Unterschied der Stammfunktionen (von f(x) zu den anderen). Das hilft mir aber beim Logikproblem nicht weiter.

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Wink

13.09.2018, 15:03

willyengland

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Ist das nicht das selbe wie

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} 1/k = \infty \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} 1/k ^2 = \pi^2/6 \end{eqnarray*}$

13.09.2018, 15:08

Steffen Bühler

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RE: Fläche Hyperbel
Ja, auch ich nehme an, es geht nur um die Anschaulichkeit, oder? Denn z.B. $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \frac 1 {x^n} dx = \frac 1{n-1}, n>1 \end{eqnarray*}$ ist ja bekannt.

Genau wie ja auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1n \end{eqnarray*}$ divergiert, während $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}, \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^3} \dots \end{eqnarray*}$ ja konvergiert.

Geometrisch will mir das auch nicht in den Kopf, im Graphen sehen all diese Flächen unendlich aus.

Dagegen werden die Flächen gegen Null alle divergieren, denn $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac 1 {x^n} dx = \frac 1{1-n} \end{eqnarray*}$ gilt nur für $\begin{eqnarray*} n<1 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

13.09.2018, 15:34

Finn_

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RE: Fläche Hyperbel
Das hat über die Volumenformel für Rotationskörper starken Bezug zu Gabriels Horn.

Man beachte dass man bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ kleiner werdende Strecken addiert, bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$ jedoch die Flächen kleiner werdender Quadrate, wobei das n-te Quadrat die Kantenlänge $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ besitzt. Flächen messen ist aber etwas anderes als Längen messen, es ist ein anderes Maß.

13.09.2018, 15:37

10001000Nick1

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RE: Fläche Hyperbel

Zitat:

Original von Equester
noch das unterschiedliche Verhalten vom Flächeninhalt im ersten bzw. zweiten Intervall (g(x), h(x): Einmal endlich, einmal unendlich).

Graphisch kann man sich das so vorstellen: Wenn man den Graphen von $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x^a} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt, erhält man den Graphen von $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x^\frac 1a} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Deswegen gilt $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{x^a}\, dx = \int_1^\infty\! \frac{1}{x^\frac 1a}\, dx +1 \end{eqnarray*}$ . (Die 1 muss man wegen dem Quadrat mit den Eckpunkten (0,0), (0,1), (1,1) und (1,0) addieren.)

Nun ist $\begin{eqnarray*} a\mapsto \frac 1a \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Bijektion von $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ .
Wenn man also weiß, dass auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ die Grenze zwischen konvergentem und divergentem Integral (bzw. zwischen endlichem und unendlichem Flächeninhalt) bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ liegt, muss das auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1, \infty) \end{eqnarray*}$ auch der Fall sein; bloß dass einmal der Konvergenzbereich bei kleineren und einmal bei größeren Exponenten liegt.

14.09.2018, 07:25

Equester

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RE: Fläche Hyperbel

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, auch ich nehme an, es geht nur um die Anschaulichkeit, oder?

Genau. Die Anschaulichkeit ist in erster Linie mein Knackpunkt. Dem bin ich leider auch nach euren Beiträgen nicht ganz auf die Pelle gerückt Hammer

.

@Nick: Danke für den Input, das muss ich mir heute Nachmittag nochmals genauer anschauen. Ob ich das iwie auch geometrisch veranschaulichen kann...Klick hat es auch da leider nicht gemacht traurig

14.09.2018, 08:19

willyengland

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RE: Fläche Hyperbel

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Geometrisch will mir das auch nicht in den Kopf, im Graphen sehen all diese Flächen unendlich aus.

Das Problem verstehe ich noch nicht so ganz.
Warum "sehen die alle unendlich aus"?
Nur, weil die Funktion ins Unendliche läuft?

14.09.2018, 08:25

Equester

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RE: Fläche Hyperbel

Zitat:

Original von willyengland

Nur, weil die Funktion ins Unendliche läuft?

Ja. Das heißt das alleine ist nicht der Knackpunkt. Sondern ich sehe "keinen" Unterschied im Verhalten bei x -> 0 und für x -> unendlich. In beiden Fällen ist jeweils die Koordinatenachse die Asymptote. Für f(x) = 1/x geht der Flächeninhalt auch gegen unendlich. In beiden Fällen.
Für g(x) und h(x) hingegen haben wir weiterhin das Verhalten für x -> 0. Für x -> unendlich ändert sich das Verhalten aber plötzlich und der Flächeninhalt wird endlich (und dazu noch verhältnismäßig klein Oo).

14.09.2018, 08:53

Steffen Bühler

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RE: Fläche Hyperbel

Zitat:

Original von Equester
Für g(x) und h(x) hingegen haben wir weiterhin das Verhalten für x -> 0. Für x -> unendlich ändert sich das Verhalten aber plötzlich und der Flächeninhalt wird endlich

Da hilft mir Nicks Kommentar mit der Spiegelung: 1/x ist sozusagen die Grenze, alles, was nach rechts "drunter" liegt, konvergiert, alles, was "drüber" liegt (also n<1), divergiert. Bei einer Reihe wäre das z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^{-1}}=\sum_{n=1}^{\infty} n \end{eqnarray*}$ .

Und gespiegelt liegen die beiden Kurven dann eben "drüber" (also weiter weg von der y-Achse), wie man in Deinem Bild schön sieht. Und divergieren somit.

14.09.2018, 09:21

willyengland

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Aha, ok, verstehe.
1/x ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden, darum gleiches Verhalten.
1/x^2 ist nicht symmetrisch, darum unterschiedliches Verhalten.

15.09.2018, 19:35

Equester

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Ok, hab beim Radeln nochmal drüber nachgedacht und mit Nicks/Steffens Hinweis hat es klick gemacht. Danke allen Freude

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