Erwartungstreue Schätzer

15.09.2018, 10:42

dubbox

Erwartungstreue Schätzer

Meine Frage:
Es geht mal wieder um die Klausurvorbereitung und ich irgendwie verstehe ich das Vorgehen bei den Schätzern in der Statistik noch nicht so wirklich. Ich konnte zwar einige sehr einfache Beispiele nachvollziehen, hänge mich aber grade hier an einer Aufgabe auf.

Sei $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,... \end{eqnarray*}$ eine Folge unabhängig $\begin{eqnarray*} R(0,\theta) \end{eqnarray*}$ -verteilter Zufallsvariablen, für ein $\begin{eqnarray*} \theta >0 \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_n(X_1,X_2,...,X_n)=\frac{2}{n}\cdot(X_1+X_2+...+X_n) \end{eqnarray*}$
ein erwartungstreuer Schätzer von $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie die Varianz für $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$

c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T_1,T_2,... \end{eqnarray*}$ eine konsistente Schätzerfolge für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = \theta \end{eqnarray*}$ ist.

d) Sei $\begin{eqnarray*} \bar{T}_n(X_1,X_2,...,X_n)=\frac{4}{n^2}\cdot(X_1+X_2+...+X_n)^2=(T_n(X_1,X_2,...,X_n))^2 \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \bar{T}_n \end{eqnarray*}$ nicht erwartungstreu für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = \theta^2 \end{eqnarray*}$ ist.

e) Modifizieren Sie $\begin{eqnarray*} \bar{T}_n \end{eqnarray*}$ geeignet, dass sich ein erwartungstreuer Schätzer für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = \theta^2 \end{eqnarray*}$ ergibt.

f) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = Var_\theta(X_i) \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Erstmal langsam anfangen und ich probiere mal etwas zur a) aufzuschreiben.

Zu aller erst schließe ich aus der $\begin{eqnarray*} R(0,\theta) \end{eqnarray*}$ -Verteilung, dass wenn ich $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ schätzen soll, ich wohl die Varianz schätze.

Für die erwartungstreue müsste ja jetzt

$\begin{eqnarray*} \tau(\theta)=V_\theta(X)=\sigma^2 = E_\theta(\frac{2}{n}\cdot(X_1+X_2+...+X_n)) = \frac{2}{n}\cdot(E_\theta(X_1)+E_\theta(X_2)+...+E_\theta(X_n))=\frac{2}{n}\cdot n\mu=2\mu \end{eqnarray*}$

gelten oder?

Wenn ich jetzt berechne
$\begin{eqnarray*} Var_{\theta}(X)=(E_{\theta}(X^2)-E_\theta(X))^2 = (\frac{2}{n}\cdot(E_{\theta}(X^2_1)+E_{\theta}(X^2_2)+...+E_{\theta}(X^2_n)) - 2\mu)^2 \end{eqnarray*}$ stehe ich auf dem Schlauch. Ich wüsste nicht wie ich hier weiter rechnen soll, da $\begin{eqnarray*} E(X^2) \neq \mu^2 \end{eqnarray*}$ sein sollte?

Ein anderer Ansatz wäre die Formel für die Stichprobenvarianz
$\begin{eqnarray*} s^2_n=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2 \end{eqnarray*}$ , aber wie gehe ich da ran?

Oder sehe ich mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht Big Laugh

15.09.2018, 10:59

HAL 9000

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Hier hast du dich wohl verschrieben:

Zitat:

Original von dubbox
a) Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_n(X_1,X_2,...,X_n)=\frac{2}{n}\cdot(X_1+X_2+...+X_n) \end{eqnarray*}$
ein erwartungstreuer Schätzer von $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ .

Gemeint sein kann eigentlich nur "ein erwartungstreuer Schätzer für $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ".

15.09.2018, 11:07

dubbox

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Du hast wie immer Recht Big Laugh

habe mich da verschrieben! Ist korrigiert!

15.09.2018, 12:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T_1,T_2,... \end{eqnarray*}$ eine konsistente Schätzerfolge für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = \theta^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Das passt irgendwie auch nicht. Ich könnte mir vorstellen, dass vielleicht

Zitat:

c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T_1,T_2,... \end{eqnarray*}$ eine konsistente Schätzerfolge für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = \theta \end{eqnarray*}$ ist.

oder

Zitat:

c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T_1^2,T_2^2,... \end{eqnarray*}$ eine konsistente Schätzerfolge für $\begin{eqnarray*} \tau(\theta) = \theta^2 \end{eqnarray*}$ ist.

gemeint ist. In letzterem Fall ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \bar{T}_n = T_n^2 \end{eqnarray*}$ mit deinem später (?!) definierten $\begin{eqnarray*} \bar{T}_n \end{eqnarray*}$ . verwirrt

15.09.2018, 15:55

dubbox

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Entschuldige vielmals, da war ich wohl etwas neben der Spur beim abschreibe.
Habe es korrigiert und jetzt noch 2 mal abgeglichen, es steht jetzt 1 zu 1 wie in der Aufgabe hier...

Tut mir leid wegen der schlampigen Arbeit, scheint der Stress zu sein

17.09.2018, 07:46

dubbox

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Oder gilt es hier

$\begin{eqnarray*} Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \Leftrightarrow E(X^2) = Var(X) + (E(X))^2 \end{eqnarray*}$

auszunutzen? Jedoch bin ich mir unsicher ob es helfen würde, ich bekomme die Quadrate bisher nicht sauber weg um eine ähnliche Lösung von oben zu erhalten, sofern diese richtig ist. Zusätzlich habe ich dann ja noch die Varianz mit in den Term geschmissen und eigentlich ergibt das für mich nicht mehr wirklich Sinn Big Laugh

17.09.2018, 10:19

HAL 9000

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Entschuldige die späte Rückmeldung, aber ich nehm mir auch mal ein paar Tage frei... Augenzwinkern

Zitat:

Original von dubbox
ich probiere mal etwas zur a) aufzuschreiben.

Zu aller erst schließe ich aus der $\begin{eqnarray*} R(0,\theta) \end{eqnarray*}$ -Verteilung, dass wenn ich $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ schätzen soll, ich wohl die Varianz schätze.

Nein, bei a) hat die Varianz nichts verloren. Vielleicht auch nur ein kurzer Fehlgedanke, den du in der nachfolgenden Zeile (zumindest in der eigentlichen Berechnung) ja nicht weiter verfolgst:

Zitat:

Original von dubbox (dass ich den Anfang der Zeile gestrichen habe, ist durchaus Absicht - da stand Unsinn)
$\begin{eqnarray*} E_\theta(\frac{2}{n}\cdot(X_1+X_2+...+X_n)) = \frac{2}{n}\cdot(E_\theta(X_1)+E_\theta(X_2)+...+E_\theta(X_n))=\frac{2}{n}\cdot n\mu=2\mu \end{eqnarray*}$

Soweit stimmt das ganze. In Verbindung mit $\begin{eqnarray*} \mu = \frac{\theta}{2} \end{eqnarray*}$ , was sich aus der gegebenen Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} X_i\sim R(0,\theta) \end{eqnarray*}$ ergibt, haben wir damit

$\begin{eqnarray*} E_\theta(\frac{2}{n}\cdot(X_1+X_2+...+X_n)) = \theta \end{eqnarray*}$ ,

und genau das ist für die Erwartungstreue ja nachzuweisen.

b) Hier erinnern wir uns zuerst dran, dass die Varianz der Summe unabhängiger (!) Zufallsgrößen gleich der Summe der Einzelvarianzen ist - das erleichtert die Rechnung enorm:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,...,X_n) \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}_{\theta}\left(\frac{2}{n} X_k \right) = \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}_{\theta}\left( X_k \right) = \frac{4}{n} \operatorname{Var}_{\theta}\left( X_1 \right) = \frac{4}{n}\cdot \frac{\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3n} \end{eqnarray*}$ .

Gut, dann ist als nächstes c) dran...

17.09.2018, 20:20

dubbox

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Die freien Tage kann ich absolut verstehen, die hast du ja auch mehr als verdient Big Laugh

a) Verstehe ich soweit, wieso aber folgt $\begin{eqnarray*} \mu = \frac{\theta}{2} \end{eqnarray*}$ aus der gegebenen Verteilung? Habe so etwas in der Art schon öfter gesehen, nie aber verstanden wieso.

b) Entschuldige mögliche dumme Fragen, bin aber etwas leer im Kopf, habe schon den ganzen Tag Mathe gelernt, aber woher ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,...,X_n) \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}_{\theta}\left(\frac{2}{n} X_k \right) \end{eqnarray*}$

Ich finde nichts derartiges im Skript und irgendwie komme ich nicht darauf, welche Formel hier angewandt wurde. Die Summe der Einzelvarianzen wäre doch $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,...,X_n) \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}_{\theta}( X_k ) \end{eqnarray*}$ also der Faktor bleibt mir ein Rätsel.

c)
Da ich bereits gezeigt habe, das $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ erwartungstreu ist, folgere ich mal dass die folge $\begin{eqnarray*} T_1,T_2,... \end{eqnarray*}$ erwartungstreu ist? (Das sollte doch so sein oder?)
Dann darf ich weil
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,...,X_n) \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{3n}=0 \end{eqnarray*}$ gilt, schließen dass es sich um eine konsistente Schätzerfolge handelt.

d) schaue ich mir später an, muss erstmal die aufgabenteile oben nachvollziehen

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

17.09.2018, 20:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
a) Verstehe ich soweit, wieso aber folgt $\begin{eqnarray*} \mu = \frac{\theta}{2} \end{eqnarray*}$ aus der gegebenen Verteilung?

Na rechne doch den Erwartungswert dieser Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} R(0,\theta) \end{eqnarray*}$ (als entsprechendes Integral) aus! Oder schau einfach in einer entsprechenden Übersicht nach, ist schließlich eine bekannte Standardverteilung.

Zitat:

Original von dubbox
aber woher ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,...,X_n) \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}_{\theta}\left(\frac{2}{n} X_k \right) \end{eqnarray*}$

Du stellst also

Zitat:

Original von HAL 9000
Hier erinnern wir uns zuerst dran, dass die Varianz der Summe unabhängiger (!) Zufallsgrößen gleich der Summe der Einzelvarianzen ist - das erleichtert die Rechnung enorm

in Frage bzw. kennst es nicht? Oder hast diesen Satz einfach mal so ignoriert - denn eigentlich hättest du ja eher nach dem fragen müssen. Es sei denn, ich schreibe hier für die Tonne... unglücklich

Man kann natürlich genauso gut erst den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ herausziehen und dann das mit der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ nutzen

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) \right) = \operatorname{Var}_{\theta}\left(\frac{2}{n} \sum_{k=1}^n X_k \right) = \frac{4}{n^2} \operatorname{Var}_{\theta}\left( \sum_{k=1}^n X_k \right) = \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}_{\theta}\left( X_k \right) \end{eqnarray*}$ ,

wenn dir das angenehmer ist.

Zitat:

Original von dubbox
Dann darf ich weil
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \operatorname{Var}_{\theta}\left(T_n(X_1,X_2,...,X_n) \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{3n}=0 \end{eqnarray*}$ gilt, schließen dass es sich um eine konsistente Schätzerfolge handelt.

Ja, Erwartungstreue plus Konvergenz der Varianz gegen Null ist hinreichend für Konsistenz - notwendig ist dies aber nicht (es gibt durchaus auch nicht erwartungstreue Schätzer, die dennoch konsistent sind).

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