Endliche und abzählbare Vereinigung?

15.09.2018, 15:03

forbin

Endliche und abzählbare Vereinigung?

Hallo Leute,

allgemein sitze ich gerade an den maßtheoretischen Begriffen Ring, Algebra und Sigma-Algebra.
Was ich aber im Speziellen nicht verstehe ist der Sprung von endlicher zu abzählbarer Vereinigung.

Nehmen wir an, ein Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ enthalte eine Folge von Mengen $\begin{eqnarray*} (A_{n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .
Nun gilt:
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{j=1}^{n}A_{i} \in R, \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$
aber es gilt nicht:
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{j=1}^{\infty}A_{i} \in R, \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Ok, mir ist der formale Unterschied klar, aber ich hab' es noch nicht richtig "gegriffen".
Beispielsweise kann ich doch bilden:
$\begin{eqnarray*} A_{1}\cup A_{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ((((A_{1}\cup A_{2})\cup A_{3})\cup A_{4})\cup A_{5}\cup... \end{eqnarray*}$ , welche alle in R liegen.

Die Frage die sich mir aber stellt (die wahrscheinlich genau der Knackpunkt ist): Was hindert mich nun daran, dass unendlich oft fortzuführen? verwirrt

Ich kenne zwar ein Gegenbeispiel, aber es fällt mir schwer, dieses "Verbot" aufzufassen. Und zwar allgemein bei endlich/abzählbar, deshalb schreibe ich das auch in das Algebra-Forum, statt in Stochastik.
Würde mir das jemand mal greifbar machen? smile

15.09.2018, 15:16

tatmas

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Hallo,

Zitat:

allgemein sitze ich gerade an den Begriffen Ring, Algebra und Sigma-Algebra.

ein Wort zu Klarstellung: Damit meinst du keine Objekte der Algebra (als mathematisches) sondern der Maßtheorie. Das ist sinnvoll dazu zu sagen, denn insb. die ersten beiden Objekte gibt es in beiden Gebieten mit unterschiedlicher Bedeutung.

Es hindert dich niemand daran unendlich viele Vereinigungen durchzuführen.
Nur sind sie dann halt u.U. nicht mehr im Ring.
Ein Beispiel: Nimm $\begin{eqnarray*} \Omega =\mathbb N \end{eqnarray*}$ und als Ring die Menge aller endlichen Mengen $\begin{eqnarray*} R:=\{ A\subseteq \mathbb N: |A| < \infty \} \end{eqnarray*}$ und schau die Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} A_i=\{ i\} \end{eqnarray*}$ an.

15.09.2018, 15:18

forbin

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Danke erstmal für die Klarstellung!

Zitat:

Original von tatmas
Es hindert dich niemand daran unendlich viele Vereinigungen durchzuführen.
Nur sind sie dann halt u.U. nicht mehr im Ring.

Das ist genau die Frage: Warum ist die abzählbare Vereinigung im Allgemeinen nicht im Ring, obwohl die endliche Vereinigung im Ring ist, die ich unendlich oft duchführen könnte?

15.09.2018, 15:54

tatmas

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Zitat:

Warum ist die abzählbare Vereinigung im Allgemeinen nicht im Ring, obwohl die endliche Vereinigung im Ring ist, die ich unendlich oft duchführen könnte?

Wo siehst du einen Unterschied zwischen diesen beiden Dingen?

15.09.2018, 15:55

forbin

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Das ist der Grund für diesen Thread

15.09.2018, 16:03

tatmas

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Das ist keine Antwort auf die Frage.
Wo genau ist deiner Meinung nach zwischen diesen beiden Dingen ein Unterschied?
(Was die frage schon suggeriert, es ist keiner da)

15.09.2018, 16:05

forbin

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Genau, es ist keiner da. Aber trotzdem ist die abzählbare Vereinigung i.A. nicht im Ring.

15.09.2018, 16:07

tatmas

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Zitat:

Genau, es ist keiner da

Gut.

$\begin{eqnarray*} Aber trotzdem ist die abzählbare Vereinigung i.A. nicht im Ring. \end{eqnarray*}$
Genausowenig wie die andere.

15.09.2018, 16:09

forbin

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Die endliche Vereinigung von Elementen eines Ringes ist wieder Element des Ringes.

15.09.2018, 16:12

tatmas

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Zitat:

obwohl die endliche Vereinigung im Ring ist, die ich unendlich oft duchführen könnte?

Das ist keine endliche Vereinigung. das ist eine unendliche Vereinigung, da sie unendlich oft durchgeführt wird.

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Endliche und abzählbare Vereinigung?

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