Differenzengleichung, was mache ich falsch?

15.09.2018, 19:46

GuterBraten

Differenzengleichung, was mache ich falsch?

Meine Frage:
Ich versuche folgende Gleichung zu lösen:

y[n+2]-5y[n+1]+6y[n]=4*2n,y0=1,y1=1,n >_ 0.

Die homogene lösung ist kein Problem.
Ich mache den Ansatz r2-5r+6=0 und löse so r[1] und r[2] heraus. r[1]=3,r[2]=2

Das heißt y[nh] =C[1]r[1]n+C[2]r[2]n <=> y[nh] =C[1]*3+C[2]*2

Nun mache ich den Ansatz y[np]=An2n (Ich wähle An2n anstatt von A2n da dieser Ansatz Teil der homogenen Lösung ist. Ist das so richtig?)

Die füge ich nun in die gleichung ein das heißt:

A(n+2)*2n+2-5A(n+1)*2n+1+6A*n2n=4*2n

Löse ich dies nun bekomme ich A=9/4 und habe somit die lösung

C[1]*3+C[2]*2+(9/4)*2n

Wenn ich das nun aber anhand von y[0],y[1] löse bekomme ich die Lösung

-10*3n+11*2n+(9/2)n2

Wenn ich diese Lösung nun mit Mathematica kontrolliere ist dies falsch. Wo mache ich die Fehler? Habe ich vielleicht etwas falsch verstanden?

Meine Ideen:
Ist vieleivht mein Ansatz falsch? Wenn ja in was sollte ich ihn umtauschen und warum?

16.09.2018, 12:12

Huggy

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RE: Differenzengleichung, was mache ich falsch?

Zitat:

Original von GuterBraten
y[n+2]-5y[n+1]+6y[n]=4*2n,y0=1,y1=1,n >_ 0.

Zum Teil ist dir offenbar zum Verhängnis geworden, dass man bei deiner Notation ein Produkt nicht von einer Potenz unterscheiden kann. Selbst wenn man Latex nicht benutzt, kann man doch 2^n schreiben statt 2n, wenn man die Potenz meint.

Zitat:

Das heißt y[nh] =C[1]r[1]n+C[2]r[2]n <=> y[nh] =C[1]*3+C[2]*2

Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} y_h(n)=c_13^n+c_22^n \end{eqnarray*}$

Vielleicht hat dich deine Schreibweise hier selbst verwirrt. Der Rest bei dir ist mir unverständlich. Der inhomogene Term deiner Differenzengleichung lautet $\begin{eqnarray*} R(n)=4 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$ . Dafür kenne ich das Rezept, erst mal den Ansatz $\begin{eqnarray*} x(n)=2^ny(n) \end{eqnarray*}$ zu machen. Man erhält

$\begin{eqnarray*} x(n+2)-\frac 5 2 x(n+1)+ \frac 3 2 x(n)=1 \end{eqnarray*}$

Das ist noch immer eine inhomogene Differenzengleichung, aber der inhomogene Teil ist jetzt einfacher. Für sie findet man die partikuläre Lösung

$\begin{eqnarray*} x_p(n)=-2n \end{eqnarray*}$

Damit hat die ursprüngliche Gleichung die partikuläre Lösung

$\begin{eqnarray*} y_p(n)=-2n \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Aus der allgemeinen Lösung $\begin{eqnarray*} y(n)=y_p(n)+y_h(n) \end{eqnarray*}$ kann man jetzt $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ mittels der Anfangswerte bestimmen.

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