Tschebyscheffsche Ungleichung, Normalverteilung

16.09.2018, 11:24

dubbox

Tschebyscheffsche Ungleichung, Normalverteilung

Meine Frage:
Da ich keine Lösungen zu der Aufgabe besitze, wollte ich Fragen ob ich sie korrekt angegangen bin.

Arthur möchte wissen, wie viele Äpfel er mindestens vermessen müsste, damit die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel der gemessenen Durchmesser höchstens 0,5mm vom tatsächlichen Erwartungswert des Durchmessers abweicht, mindestens 95% beträgt. Bestimmen sie die gesuchte Mindestanzahl $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mittels der Tschebyscheffschen Ungleichung. Sie dürfen annehmen, dass $\begin{eqnarray*} Var(X)=24 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht irre, ist das Ganze eine $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\frac{Var(X)}{n}\right)=N\left(\mu,\frac{24}{n}\right) \end{eqnarray*}$ -Verteilung. (brauche ich später)

Erstmal fange ich wie folgt an, mit 0,5 als unsere gewünschte maximale Abweichung:

$\begin{eqnarray*} P(|\bar{X}_{(n)}-\mu| < 0.5) =P(-0.5 <\bar{X}_{(n)}-\mu < 0.5) \end{eqnarray*}$

Jetzt teile ich durch die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt\frac{24}{n} \end{eqnarray*}$ um die Zufallsvariable zu standardisieren und eine $\begin{eqnarray*} N(0,1) \end{eqnarray*}$ -Verteilung zu erhalten. Ich bin mir hierbei extrem unsicher was ich eigentlich tue, diesen Schritt kenne ich nur aus unseren Übungsaufgaben. Hier war immer $\begin{eqnarray*} \bar{X}_{(n)}-\mu = 0 \end{eqnarray*}$ , sollte hier aber auch der Fall sein, geht ja mit der Definition vom Erwartungswert in der Normalverteilung und dem arithmetischen Mittel einher? Jedenfalls geht es dann wie folgt weiter

$\begin{eqnarray*} P\left(\frac{-0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}< \frac{\bar{X}_{(n)}-\mu}{\sqrt{\frac{24}{n}}}< \frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right) \end{eqnarray*}$

damit ist

$\begin{eqnarray*} Y=\frac{\bar{X}_{(n)}-\mu}{\sqrt{\frac{24}{n}}} \end{eqnarray*}$

Es folgt
$\begin{eqnarray*} P\left(|\bar{X}_{(n)}-\mu| < 0.5)=P(\frac{-0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}<Y< \frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right)=\Phi\left(\frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right)-\Phi\left(\frac{-0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right)=2\Phi\left(\frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right)-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt löse ich folgende Ungleichung mit mindestens 95% als Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right)-1 = P(|\bar{X}_{(n)}-\mu| < 0.5) \geq 0.95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi\left(\frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right)-0.5 \geq 0.475 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \Phi\left(\frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}}\right) \geq 0.975 \end{eqnarray*}$

Ich bestimme mit der Tabelle für die Quantile der $\begin{eqnarray*} N(0,1) \end{eqnarray*}$ -Verteilung $\begin{eqnarray*} u_{0.975}=1.96 \end{eqnarray*}$ und löse weiter

$\begin{eqnarray*} \frac{0.5\sqrt{n}}{\sqrt{24}} \geq 1.96 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{0.5^2n}{24} \geq 1.96^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n \geq \frac{1.96^2\cdot24}{0.5^2} \Leftrightarrow n \geq 368.7936 \end{eqnarray*}$

Demnach müsste Arthur mindestens 369 Äpfel vermessen.

16.09.2018, 13:39

Huggy

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RE: Tschebyscheffsche Ungleichung, Normalverteilung

Zitat:

Original von dubbox

Bestimmen sie die gesuchte Mindestanzahl $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mittels der Tschebyscheffschen Ungleichung. Sie dürfen annehmen, dass $\begin{eqnarray*} Var(X)=24 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht irre, ist das Ganze eine $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\frac{Var(X)}{n}\right)=N\left(\mu,\frac{24}{n}\right) \end{eqnarray*}$ -Verteilung.

Und hier liegt der Hund begraben. In der Aufgabe steht aber ausdrücklich, du sollst mit Tschebyscheffschen Ungleichung arbeiten und das hast du nicht gemacht.

Wenn man von einer Normalverteilung der Durchmesser ausgeht, ist deine Rechnung zwar richtig, erfüllt aber nicht die Forderung im Aufgabentext. Schau dir also zuerst mal die Tschebyscheffsche Ungleichung an.

16.09.2018, 17:48

dubbox

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Stimmt, also nochmal Big Laugh

Irgendwie eigenartig wenn die genauere Lösung die falsche ist :P

Ich habe gegeben $\begin{eqnarray*} Var(X) = 24 \end{eqnarray*}$ gewünscht ist eine minimale Abweichung von $\begin{eqnarray*} 0.5 \end{eqnarray*}$ und ich will eine Genauigkeit von $\begin{eqnarray*} 95% \end{eqnarray*}$ erreichen.

Es soll also gelten $\begin{eqnarray*} P(|\bar{X}_n - \mu| < 0.5) \geq 0.95 \end{eqnarray*}$ .

Ich forme zuerst wie folgt um
$\begin{eqnarray*} P(|\bar{X}_n - \mu| < 0.5) = 1 - P(|\bar{X}_n - \mu| \geq 0.5) = 1- P(|\bar{X}_n - E(\bar{X}_n)| \geq 0.5) \end{eqnarray*}$

mit der Tschebyscheffschen Ungleichung ergibt sich also

$\begin{eqnarray*} P(|\bar{X}_n - E(\bar{X}_n)| \geq 0.5) \leq \frac{Var(\bar{X}_n)}{0.5^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P(|\bar{X}_n - E(\bar{X}_n)| < 0.5) \geq 1- \frac{Var(\bar{X}_n)}{0.5^2}= 1-\frac{\frac{24}{n}}{0,5^2}=1-\frac{96}{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es nur noch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu berechnen

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{96}{n} \geq 0.95 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n-96 \geq 0.95n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n \geq 0.95n + 96 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0.05n \geq 96 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n \geq 1920 \end{eqnarray*}$

Somit ist unsere gesuchte Anzahl, 1920 Äpfel die mindestens zu vermessen sind.

16.09.2018, 18:27

Huggy

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Das ist die geforderte Lösung.

Zitat:

Original von dubbox
Stimmt, also nochmal Big Laugh

Irgendwie eigenartig wenn die genauere Lösung die falsche ist :P

Vermutlich sollte illustriert werden, wie nützlich es ist, wenn man nicht eine fast beliebige Verteilung unterstellen muss. Tschebyscheff ist halt so etwas wie der letzte Notnagel.

18.09.2018, 10:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
Irgendwie eigenartig wenn die genauere Lösung die falsche ist

Es ist keine "genauere" Lösung: Der berechnete $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Wert 369 mag deutlich näher an der tatsächlich benötigten Mindestanzahl liegen als die 1920 gemäß Tschebyscheff. Aber hier geht es um eine sichere Schranke, und nicht um einen möglichst nahen Schätzwert:

Wenn beispielsweise die Rechnung mit der genauen Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (die wir hier allerdings nicht kennen) $\begin{eqnarray*} n\geq 375 \end{eqnarray*}$ ergibt, dann ist eben eine Antwort 369 regelrecht falsch zu nennen.

Es gibt Methoden, den Approximationsfehler sauber abzuschätzen (z.B. per Berry-Esseen), und damit dann wesentlich genauere sichere Schranken als mit Tschebyscheff zu erzielen. Allerdings benötigt man da i.d.R. auch noch weitere Verteilungsparameter - bei Berry-Esseen etwa ist es das dritte absolute Moment $\begin{eqnarray*} E\left(|X-E(X)|^3\right) \end{eqnarray*}$ .

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