Münzwurf bedingte Wahrscheinlichkeit

16.09.2018, 16:14

yellowman

Münzwurf bedingte Wahrscheinlichkeit

Hallo zusammen, ich habe noch eine Aufgabe zum Münzwurf.

Es wird eine Münze 2mal gewofen. Dabei ist der erste Wurf Kopf, dass ist gegeben. Bestimme die Wahrscheinlichkeit das beide Würfe Kopf ergeben.

Meine Idee: Zu bestimmen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(KK|\text{Erster Wurf K}) \end{eqnarray*}$
Ich habe mir dazu einen zweistufiges Baumdiagramm aufgezeichnet. Ich bin dabei auf die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(KK|\text{Erster Wurf K})=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ gekommen. Da $\begin{eqnarray*} P(K)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Laut Lösung soll allerdings $\begin{eqnarray*} P(KK|\text{Erster Wurf K})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ herauskommen. Wieso?

Viele Grüße

16.09.2018, 17:51

klauss

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RE: Münzwurf bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlich wird Leopold wieder die Nase über meine inkonsistente Schreibweise rümpfen ( Augenzwinkern

), aber "leider" führt die auch hier, in der Schulstochastik, wieder zum Ziel.

Wenn man das gesuchte Ereignis E ausführlicher formuliert als
$\begin{align*} E:\left(K\cap K\right)|\left[\left(K\cap K\right)\cup \left(K\cap \overline K\right) \right] \end{align*}$
folgt aus der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{align*} P(E)= \frac{P\left\{ \left[\left(K\cap K\right)\cup \left(K\cap \overline K\right) \right]\cap \left(K\cap K\right) \right\}}{P\left[\left(K\cap K\right)\cup \left(K\cap \overline K\right) \right]} =\frac{P\left(K\cap K\right)}{P\left[\left(K\cap K\right)\cup \left(K\cap \overline K\right) \right]}=\frac{1/4}{1/4+1/4} \end{align*}$

16.09.2018, 18:17

Mitleser

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Zitat:

Ich bin dabei auf die Wahrscheinlichkeit P(KK|Erster Wurf K)=1/4 gekommen.

Das wäre $\begin{eqnarray*} P(K \cap K) \end{eqnarray*}$ , du willst aber P(K | K).

Du denkst da glaube ich (noch) oft zu kompliziert.

Versuche dir auch mal klar zu machen, was die ganzen Wahrscheinlichkeiten in einem zweistufigen Baumdiagramm bedeuten.
Wenn dir das gelingt, dann sollte dir z.B. auch auffallen, dass die bestimmte bedingte Wahrscheinlichkeiten dort bereits enthalten sind.
Allein mit meinem vorigen Satz ergibt sich bereits P( K | K).

Aber auch völlig losgelöst von irgendwelchen Formeln, kann man sich doch vor Augen führen:

Völlig egal, ob ich im ersten Wurf nun Kopf oder Zahl erworfen habe, die Chance danach beim zweiten Wurf muss doch unabhängig davon auch wieder ... sein.

17.09.2018, 11:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Wahrscheinlich wird Leopold wieder die Nase über meine inkonsistente Schreibweise rümpfen

Ich weiß jetzt nicht, auf welchen Thread du Bezug nimmst (und hab jetzt auch keine Lust, danach zu suchen), aber falls das eine Kritik an Schreibweise $\begin{eqnarray*} (K\cap K) \end{eqnarray*}$ statt wie eigentlich hier gemeint $\begin{eqnarray*} (K_1\cap K_2) \end{eqnarray*}$ ist, dann schließe ich mich der Kritik an.

17.09.2018, 12:43

willyengland

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RE: Münzwurf bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von yellowman
Ich habe mir dazu einen zweistufiges Baumdiagramm aufgezeichnet. Ich bin dabei auf die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(KK|\text{Erster Wurf K})=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ gekommen. Da $\begin{eqnarray*} P(K)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Ast zu Kopf ist 1 und nicht 0,5!

17.09.2018, 13:19

Huggy

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RE: Münzwurf bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von willyengland

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Ast zu Kopf ist 1 und nicht 0,5!

Das ist Unfug.
Ich weiß zwar, was du meinst. Du möchtest die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit für den zweiten Wurf durch eine Änderung der Wahrscheinlichkeit für den ersten Wurf von 1/2 auf 1 realisieren. Das führt zwar zum richtigen Ergebnis, ist aber trotzdem Unfug.

17.09.2018, 13:24

willyengland

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Warum Unfug?

17.09.2018, 13:41

Huggy

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@ klauss

Zitat:

Original von HAL 9000
aber falls das eine Kritik an Schreibweise $\begin{eqnarray*} (K\cap K) \end{eqnarray*}$ statt wie eigentlich hier gemeint $\begin{eqnarray*} (K_1\cap K_2) \end{eqnarray*}$ ist, dann schließe ich mich der Kritik an.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (K_1\cap K_2) \end{eqnarray*}$ würde ich auch benutzen. Aber selbst die erfordert noch ein Verständnis, was man unter den Ereignismengen $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ versteht. Bei einem zweistufigen Experiment ist der Ereignisraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ die Menge der geordneten Paare der einzelnen Würfe. Beim zweimaligen Münzwurf ist also

$\begin{eqnarray*} \Omega =\{(K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z)\} \end{eqnarray*}$

Es ist dann

$\begin{eqnarray*} K_1=\{(K,K),(K,Z)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2=\{(K,K),(Z,K)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_1 \cap K_2=\{(K,K)\} \end{eqnarray*}$

17.09.2018, 13:45

Huggy

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Zitat:

Original von willyengland
Warum Unfug?

Weil sich die Wahrscheinlichkeit, im ersten Würf Kopf oder Zahl zu bekommen, nicht dadurch ändert, weil jemand eine bestimmte Frage zum Ergebnis des zweiten Wurfs stellt!

17.09.2018, 14:09

klauss

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@ Alle: Bisher habe ich mir zwecks Verringerung des Schreibaufwands die Indizes immer dazugedacht bzw. einen Schüler mündlich auf die Bedeutung der Schreibweise hingewiesen, aber ich will mich bemühen, künftig bei Bedarf mit Index zu arbeiten.
Bleibt dennoch darauf hinzuweisen, dass mit $\begin{eqnarray*} K\cap K \end{eqnarray*}$ oder wahlweise $\begin{eqnarray*} K_{1}\cap K_{2} \end{eqnarray*}$ gemeint sein soll: Zweifacher Münzwurf mit Kopf beim 1. Wurf und Kopf beim 2. Wurf. Also abweichend von Huggys Alternative.

17.09.2018, 14:19

Huggy

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Zitat:

Original von klauss
.Bleibt dennoch darauf hinzuweisen, dass mit $\begin{eqnarray*} K\cap K \end{eqnarray*}$ oder wahlweise $\begin{eqnarray*} K_{1}\cap K_{2} \end{eqnarray*}$ gemeint sein soll: Zweifacher Münzwurf mit Kopf beim 1. Wurf und Kopf beim 2. Wurf. Also abweichend von Huggys Alternative.

Wodurch unterscheidet sich das von meiner "Alternative"?
Oder anders gefragt, was ist bei dir $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ für den zweimaligen Münzwurf und was ist dann bei dir $\begin{eqnarray*} K_1,K_2, K_1 \cap K_2 \end{eqnarray*}$ ?

17.09.2018, 14:41

willyengland

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von willyengland
Warum Unfug?

Weil sich die Wahrscheinlichkeit, im ersten Würf Kopf oder Zahl zu bekommen, nicht dadurch ändert, weil jemand eine bestimmte Frage zum Ergebnis des zweiten Wurfs stellt!

Ja, ok, verstehe schon.

Gesagt wird:
Dabei ist der erste Wurf Kopf, dass ist gegeben.
Wenn etwas fest gegeben ist, dann könnte man dem schon die Wahrscheinlichkeit 1 zuordnen.

17.09.2018, 14:50

klauss

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@Huggy:
$\begin{eqnarray*} K\cap K \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} K_{1}\cap K_{2} \end{eqnarray*}$ ist bei mir nur Dein $\begin{eqnarray*} (K,K) \end{eqnarray*}$ , aber nicht als Schnittmenge zweier Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , sondern als - lockere - Schreibweise für eine Zweiersequenz ("erst K und dann nochmal K").
Demzufolge wäre mein $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{ (K\cap K),(K\cap Z),(Z\cap K),(Z\cap Z)\right\} \end{eqnarray*}$
Wie gesagt, das ist nicht akademisch gedacht, sondern praktisch, um Formeln ins Spiel bringen zu können.

17.09.2018, 15:50

yellowman

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Ich glaube jetzt habe ich es einigermaßen verstanden. Vielen Dank und schöne Grüße

17.09.2018, 16:06

Huggy

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Zitat:

Original von willyengland
Gesagt wird:
Dabei ist der erste Wurf Kopf, dass ist gegeben.
Wenn etwas fest gegeben ist, dann könnte man dem schon die Wahrscheinlichkeit 1 zuordnen.

Deswegen sagte ich oben, ich weiß, was du meinst. Vielleicht ist der Ausdruck Unfug auch zu hart. Es ist aber so, dass man bei einem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten an die Kanten schreiben kann, ohne zu wissen, welche Frage zu diesem Baumdiagramm gestellt wird. Deine Aussage suggeriert halt, dass man je nach Frage unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten an die Kanten zu schreiben habe. Das dürfte jeden Schüler in tiefste Verwirrung stürzen.

17.09.2018, 16:19

Huggy

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Zitat:

Original von klauss
@Huggy:
$\begin{eqnarray*} K\cap K \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} K_{1}\cap K_{2} \end{eqnarray*}$ ist bei mir nur Dein $\begin{eqnarray*} (K,K) \end{eqnarray*}$ , aber nicht als Schnittmenge zweier Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , sondern als - lockere - Schreibweise für eine Zweiersequenz ("erst K und dann nochmal K").

Die Schüler bekommen in der Schule gelehrt, dass Wahrscheinlichkeiten für Teilmengen einer Ereignismenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert werden. Wie soll denn nun ein Schüler verstehen, dass du Schnittmengen hinschreibst, die aber keine Schnittmengen sein sollen und für die es trotzdem Wahrscheinlichkeiten gibt.

Ich bin gewiss kein Anhänger von übetriebenem Formalismus. Ich benutze gern etwas lasche, dafür aber kurze und prägnante Schreibweisen. Es muss aber immer klar sein, wie diese Schreibweisen in eine präzise Schreibweise zu übersetzen sind, sonst findet man sich schnell im Treibsand wieder und geht dann leicht unter.

17.09.2018, 16:32

HAL 9000

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Die Symbolik sollte bekannten Gepflogenheiten nicht eklatant widersprechen. So kann ich hier mich mit $\begin{eqnarray*} KK \end{eqnarray*}$ als Kurzform sowohl für das Elementarereignis $\begin{eqnarray*} (K,K) \end{eqnarray*}$ als auch für das Ereignis $\begin{eqnarray*} \{(K,K)\} \end{eqnarray*}$ durchaus anfreunden - mit $\begin{eqnarray*} K\cap K \end{eqnarray*}$ aber überhaupt nicht: Das schreit geradezu nach Umformung $\begin{eqnarray*} K\cap K=K \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

17.09.2018, 19:02

klauss

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Na ja, um die Diskussion abzuschließen: Der Witz ist eben, dass diese Methode - wenn man weiß, an welcher Stelle sie wie zu verstehen ist - hier und anderswo funktioniert und man damit auch schwierigere Aufgaben in den Griff kriegen kann. Das rechtfertigt mal einen unsauberen Trick.
Ich kann aber gern auch zusätzlich versprechen, sollte die Situation künftig eintreten, einen Schüler ausdrücklich darauf hinzuweisen, dass die Übersetzung von Mengenoperatoren in sprachliches "und" und "oder" freies Mittel zum Zweck ist, das in eingefleischten Kreisen verpönt wäre.
Immerhin würde selbst ich davor zurückschrecken, stattdessen durch Verwendung von $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ Ereignissen scheinbar noch einen Wahrheitswert zuzuweisen ...

18.09.2018, 08:24

Huggy

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Es kann nicht schaden, die Rechnung noch mal in mehr üblichen Konventionen entsprechender Notation komplett hinzuschreiben. Es seien beim zweimaligen Münzwurf $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ die Ereignismengen für erster Wurf Kopf bzw. zweiter Wurf Kopf.

$\begin{eqnarray*} K_1=\{KK,KZ\} \quad K_2=\{KK,ZK\} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(K_2|K_1) \end{eqnarray*}$ . Gemäß der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(K_2|K_1)=\frac {P(K_1 \cap K_2)}{P(K_1)}=\frac {P(KK)}{P(K_1)}=\frac {\frac{1}{4}}{\frac {1}{2}}=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Von Mitleser wurde schon darauf hingewiesen, dass sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit in einem Baumdiagramm ohne Rechnung ablesen lässt. Sie steht dort an der zu dem Knoten $\begin{eqnarray*} KK \end{eqnarray*}$ führenden Kante. Man muss nur verstanden haben, dass bei einem Baumdiagramm an den tiefer liegenden Kanten bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen. Die Bedingung ist durch den Pfad gegeben, der vom Ursprung zu dieser Kante führt.

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