Reihe als geschlossene Form - Identität zeigen

17.09.2018, 14:25	Robin94	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe als geschlossene Form - Identität zeigen Meine Frage: Hallo zusammen! Ich stecke in einer Aufgabe etwas fest. Zu zeigen ist die folgende Gleichheit: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{k-1}{m-1} (1-\theta)^{k-m} \theta^m t^k = (\tfrac{\theta t}{1-(1-\theta)t})^m \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe (nach diversem anderem Kram, der nichts genützt hat) versucht (wie es an anderer Stelle schonmal vorkam), über die Ableitungen der geometrischen Reihe zu gehen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{k-1}{m-1} (1-\theta)^{k-m} \theta^m t^k \\<br /> =\theta ^m t^m \sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{k-1}{m-1} ((1-\theta)t)^{k-m} \\<br /> =\theta ^m t^m \sum\limits_{k=0}^{\infty} (k-1)...(k-m+1) ((1-\theta)t)^{k-m}\\<br /> =\theta ^m t^m \sum\limits_{k=0}^{\infty} \tfrac{\delta^{m-1}}{\delta \theta^{m-1}} \\<br /> =\theta ^m t^m \tfrac{\delta^{m-1}}{\delta \theta^{m-1}} \sum\limits_{k=0}^{\infty}((1-\theta)t)^{k-1}\\<br /> =\theta ^m t^m \tfrac{\delta^{m-1}}{\delta \theta^{m-1}} \tfrac{1}{1-(1-\theta)t} \\<br /> =\theta ^m t^m \tfrac{(m-1)!}{(1-(1-\theta)t)^m} \end{eqnarray}$ aber ich habe keine Ahnung, wo ich den Faktor (m-1)! noch loswerde. P.S. die Gesamtvorschau funktioniert in meinem Browser nicht. Habe die Formeln im Formeleditor gebastelt und dort sah es gut aus, hoffe es funktioniert.
17.09.2018, 15:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, sollte die Summe nicht erst bei $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ beginnen? ------------------------------------------------------------------- Wir können wohl $\begin{eqnarray} m\geq 1 \end{eqnarray}$ voraussetzen. Differenziert man die geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ insgesamt $\begin{eqnarray} (m-1) \end{eqnarray}$ -mal, so bekommt man als $\begin{eqnarray} (m-1) \end{eqnarray}$ -te Ableitung dividiert durch $\begin{eqnarray} (m-1)! \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k}{m-1} x^{k-m+1} = \frac{1}{(1-x)^m} \end{eqnarray}$ heraus. Da jetzt $\begin{eqnarray} x=(1-\theta)t \end{eqnarray}$ eingesetzt führt zu $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k}{m-1} (1-\theta)^{k-m+1} t^{k-m+1} = \frac{1}{(1-(1-\theta)t)^m} \end{eqnarray}$ , und nun noch das ganze mit $\begin{eqnarray} (\theta t)^m \end{eqnarray}$ multipliziert schließlich $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k}{m-1} (1-\theta)^{k-m+1} \theta^m t^{k+1} = \left( \frac{\theta t}{1-(1-\theta)t}\right)^m \end{eqnarray}$ . Eine kleine Indexverschiebung $\begin{eqnarray} k\to k-1 \end{eqnarray}$ ergibt letztlich $\begin{eqnarray} \sum_{k={\color{red}1}}^{\infty} \binom{k-1}{m-1} (1-\theta)^{k-m} \theta^m t^k = \left( \frac{\theta t}{1-(1-\theta)t}\right)^m \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ einzubeziehen macht die Sache falsch, denn der Summand links für $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ verschwindet NICHT. Tatsächlich kann man die Summe auch erst bei k=m beginnen lassen, denn der Summand ist Null für $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,m-1 \end{eqnarray}$ (was aber eben nicht für k=0 zutrifft).

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