Schnitt zweier offener Quadrate

17.09.2018, 19:24

Perry

Schnitt zweier offener Quadrate

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Ich sitze gerade an einer Ausarbeitung und ich habe Problem beim Präzisieren des folgenden mathematischen Sachverhaltes:

Ich möchte gerne einen Teilraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ mit offenen Quadraten $\begin{eqnarray*} (0,1)^{2} \end{eqnarray*}$ überdecken. Soweit diese sich eindeutig überschneiden ist das kein Problem und ich kann den kompletten Raum überdecken. Misst man dann die überdeckte Fläche kann ich dieser ein positives Lebesgue $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ zuordnen.

Wenn sich nun aber zwei Quadrate, genau am "Rand" (obwohl es dieses ja eigentlich nicht gibt). Betrachtet man die "Linie" die entsteht, so erhalte ich eine "Linie" oder "Strecke" die das 2-dimensionale LebesqueMaß $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ hat und somit wäre der Raum nicht überdeckt.

Na klar, ich könnte einfach geschlossene Quadrate nehmen, aber ich muss das obige Problem in meiner Arbeit leider mit aufnehmen Augenzwinkern

Meine Ideen:
Wie definiere ich diesen Rand? Diese Linie, diese Fläche? Seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ nun diese $\begin{eqnarray*} (0,1)^{2} \end{eqnarray*}$ - Quadrate.

$\begin{eqnarray*} a \cup b = ? \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus,

Perry

18.09.2018, 09:48

HAL 9000

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Was ist dein Anliegen???
Ich verstehe nicht, worauf du hinauswillst - das mag auch an plötzlich endenden, unvollständigen Sätzen wie dem hier

Zitat:

Original von Perry
Wenn sich nun aber zwei Quadrate, genau am "Rand" (obwohl es dieses ja eigentlich nicht gibt).

liegen.

Wenn du mit solchen offenen Quadraten die Fläche lückenlos überdecken willst, dann müssen sich die Quadrate überlappen, und sie überlappen sich nicht nur auf einer Fläche vom Maß 0, sondern positiven (!) Maßes, nennen wir es $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Alles, was du erreichen kannst ist, eine Folge von Überdeckungen mit Überlappungsfläche $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ zu konstruieren - aber du wirst es nicht schaffen, dass eine einzelne Überdeckung davon Überlappungsfläche 0 hat. unglücklich

18.09.2018, 15:44

Perry

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Ok, entschuldige. Ich meine natürlich:

Wenn sich nun aber zwei Quadrate, genau am "Rand" (obwohl es dieses ja eigentlich nicht gibt), entsteht ein eindimensionale Fläche mit $\begin{eqnarray*} \lambda^{1} = 0 \end{eqnarray*}$
Im zweidimensionalen Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda^{2} \end{eqnarray*}$ gebe ich dir recht, muss es ein positives Maß sein.

Zitat:

Alles, was du erreichen kannst ist, eine Folge von Überdeckungen mit Überlappungsfläche µ→0 zu konstruieren - aber du wirst es nicht schaffen, dass eine einzelne Überdeckung davon Überlappungsfläche 0 hat.

Bist du da sicher? Ich zitiere aus einem Lehrbuch.

Dafür folgende Notation:
$\begin{eqnarray*} B \subset \mathbb{R}^{d} \end{eqnarray*}$ ist die Region die ich überdecken will, welches ich mit einer Vereinigung von Mengen $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ erreichen will. $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kennzeichnet die freie/unüberdeckte Fläche.

"The condition $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)=1 \end{eqnarray*}$ does not imply that $\begin{eqnarray*} B \subset \Xi \end{eqnarray*}$ , since a subset of $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ of lower dimension (and thus Lebesgue measure 0 in $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ dimensions) might not be covered."
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)=1 \end{eqnarray*}$ ist nur die notwendige Bedinung für $\begin{eqnarray*} B \subset \Xi \end{eqnarray*}$ . Die hinreichende Bedingung ist die Geschlossenheit von Mengen.

18.09.2018, 18:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Perry
welches ich mit einer Vereinigung von Mengen $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ erreichen will.

Was ist $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ ? Eine Vereinigung solcher offenen Quadrate?

Und ich hab nicht über den bloßen Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der nicht überdeckten Teile deiner Region geredet, sondern über die nicht überdeckten Teile selbst. Und wenn es solche (eine hinreichend große Region vorausgesetzt) nicht überdeckten Teile nicht geben soll, müssen sich die offenen (!) Quadrate wirklich echt überlappen - ja, da bin ich mir sicher.

Zitat:

Original von Perry
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)=1 \end{eqnarray*}$ ist nur die notwendige Bedinung für $\begin{eqnarray*} B \subset \Xi \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich.

Zitat:

Original von Perry
Die hinreichende Bedingung ist die Geschlossenheit von Mengen.

Von welchen Mengen redest du denn jetzt wieder - sicher nicht von deinen offenen Quadraten.
Und wieso ist die Geschlossenheit dieser Mengen hinreichend für $\begin{eqnarray*} B\subset \Xi \end{eqnarray*}$ sein? Du redest in Rätseln bzw. sehr sehr unvollständig.

21.09.2018, 11:43

Perry

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Zitat:

Du redest in Rätseln bzw. sehr sehr unvollständig.

Ja, das stimmt wohl. Bevor ich noch mehr Fragen aufkommen lasse, habe ich mich jetzt bemüht den Sachverhalt genauer zu strukturieren und zu erläutern.

Zitat:

Was ist $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ ? Eine Vereinigung solcher offenen Quadrate?

Genau. Dies können willkürliche Zufallsmengen sein. Ich möchte, nach dem Tipp meines Dozenten, mit Quadraten (offen oder geschlossen - da bin ich mir selbst nicht ganz sicher gerade) argumentieren.

Zitat:

Von welchen Mengen redest du denn jetzt wieder - sicher nicht von deinen offenen Quadraten.

Doch, leider meinte ich die ...

Also nochmal: Ich möchte einen Raum $\begin{eqnarray*} B \subset \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ mit der Vereinigung von Quadraten $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ überdecken.

Der Nicht-überdeckte, freie Teilraum davon heißt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Der Raum, hier Fläche, gilt als überdeckt, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Bemerkung:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)=1 \end{eqnarray*}$ impliziert nicht $\begin{eqnarray*} B\subset \Xi \end{eqnarray*}$ , da es eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ geben kann, die eindimensional ist, und demenstprechend das zweidimensionale Lebesquemaß 0 hat. Folglich wäre dieser Teil nicht überdeckt, wenn man es mit dem eindimensionalen Lebesguemaß misst.

Deswegen: Wenn die Quadrate aus $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ geschlossen sind, und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine offene und beschränkte Menge ist, gilt folgende Äquivalenz: $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)= 1 \Leftrightarrow B\setminus \Xi = \emptyset \end{eqnarray*}$

Soo, bis hier hin, habe ich die Literatur zitiert. Ich möchte sie nun ganz verstehen.

Zitat:

Und wieso ist die Geschlossenheit dieser Mengen hinreichend für $\begin{eqnarray*} B \subset \Xi \end{eqnarray*}$ sein?

Folgt das nicht aus der Aussage? Um $\begin{eqnarray*} B\subset \Xi \end{eqnarray*}$ als wahr zu bezeichnen muss $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(F=0)=1 \end{eqnarray*}$ gelten, unabhängig ob ich nun geschlossene oder offene Quadrate betrachte.

Möglichkeit 1: (geschlossene Quadrate)
Zwei Quadrate schneiden sich genau am Rand und die beiden Ränder bilden eine Linie. Diese hat das zweidimensionale Lebesquemaß 0. Warum fordert man diese Bedingung? Das müsste ja die hinreichende sein, da mit dieser Eigenschaft die Äquivalenz gilt.

Möglichkeit 2: (offene Quadrate)
Zwei Quadrate müssen sich überlappen, um $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zu überdecken. (Wie du ja auch gesagt hast). Wäre es nicht besser die Offenheit vorauszusetzen?

PS: und liege ich richtig in der Annahme, dass entweder Möglichkeit 1 oder 2 überhaupt eine hinreichende Bedingung ist?

21.09.2018, 12:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Perry
Also nochmal: Ich möchte einen Raum $\begin{eqnarray*} B \subset \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ mit der Vereinigung von Quadraten $\begin{eqnarray*} \Xi \end{eqnarray*}$ überdecken.

Der Nicht-überdeckte, freie Teilraum davon heißt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Da geht's eben schon los mit den Begriffsirritationen: Ich assoziiere den Begriff "Überdeckung" grundsätzlich damit, dass die Mengen der Überdeckung in ihrer Vereinigung die bewusste Menge komplett umfassen - da gibt es keinen "freien Teilraum" mehr. Eine Mengenvereinigung, die das nicht erfüllt, ist einfach keine Überdeckung, und so ist es auch allgemein üblich definiert. Ein Umdefininieren anerkannt üblicher Begriffe führt eben leider zu Irritationen. unglücklich

Die Vereinigung der zugehörigen abgeschlossenen (!) Quadrate mag dann eine Überdeckung sein - die der offenen ist es nicht.

21.09.2018, 13:14

Perry

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Alles klar, habe dann die Überdeckung einfach zu bildlich gesehen.

Ok, nach der Wikipedia-Definition ist eine Überdeckung in meinem Fall
$\begin{eqnarray*} B \subset \bigcup_{i \in I} \Xi_{i} = \Xi \end{eqnarray*}$

Und für diese Definition reicht nicht aus, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{P} (F=0) = 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Das heißt ja soviel, dass ich schlicht und einfach keine Überdeckung habe.

Alles klar, gechekt Freude

und nun sagst du, dass

Zitat:

Die Vereinigung der zugehörigen abgeschlossenen (!) Quadrate mag dann eine Überdeckung sein - die der offenen ist es nicht

Und dass ist ja der Knackpunkt. Deine Aussage ist identisch mit dem aus der Literatur. Es müssen abgeschlossene Quadrate sein. Habe ich mich denn richtig ausgedrückt bzgl. des Lebesgue-Maßes? Das wiederspräche ja den abgeschlossenen Quadraten, da ich ja dort ein eindimensionales Lebesguemaß 0 hätte.

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