Aussagenlogik

18.09.2018, 16:55	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, auch, wenn es von mir selbst zur Zeit wohl noch nicht gefordert wird, interessiert es mich, was folgender Ausdruck eigentlich bedeutet. Wahrscheinlich handelt es sich dabei um eine einschlägig bekannte Definition für einen Zahlenraum? (Also etwas in der Richtung "einschlägig bekannte Definition"?) $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 : (\exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N} : ( \forall n \ge n_{\epsilon} : \| a_{n} - a \| < \epsilon)) \end{eqnarray}$ Ausgesprochen: Für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gilt: Es existiert mindestens eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $\begin{eqnarray} n \ge n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \|a_{n} - a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ ist. Kennt das jemand? Nachtrag: Wenn ich selbst einmal ein Beispiel zeigen würde ... $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ könnte beispielsweise $\begin{eqnarray} \epsilon = 3 \end{eqnarray}$ sein. Dann wäre meinem Verständnis nach $\begin{eqnarray} \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ für den Fall $\begin{eqnarray} \epsilon = 3 \end{eqnarray}$ demnach $\begin{eqnarray} n_{3} = 3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \forall n \ge n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ würde dann bedeuten, dass n = 3 sein könnte, wobei auch alle natürlichen Zahlen größer 3 in Frage kämen; jedenfalls alle solche natürlichen, mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} \|a_{n} - a\| \end{eqnarray}$ kleiner 3 sein müsste. Aber was ist $\begin{eqnarray} \|a_{n} - a\| \end{eqnarray}$ ? Also was wäre a und a_n diesem Zahlenbeispiel nach, wenn also epsilon = 3 wäre? Gruß, Andre Zwei Beiträge zusammengefügt. Steffen
18.09.2018, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese prädikatenlogische Aussage ist die Definition dafür, dass die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ konvergiert und den Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to \infty \end{eqnarray}$ hat. Deine Interpretaion hilft nicht wirklich. Für alle $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ heißt, dass es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ gibt, diese sind aber nicht gleich. Meist wählt man ein sehr kleines $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und findet dann ein sehr großes $\begin{eqnarray} n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nahe bei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ liegt, genauer der Abstand ist nicht größer als $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ .

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