Analytische Funktion, einseitig verschwindend

21.09.2018, 12:54	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Analytische Funktion, einseitig verschwindend Man kann sich die folgende Frage stellen: Gibt es eine glatte Funktion $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , dergestalt dass $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\le 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ? Zur Beantwortung der Frage lässt sich der bekannte Mollifier-Prototyp $\begin{eqnarray} \exp\Big(-\frac{1}{\|x\|^n}\Big) \end{eqnarray}$ heranziehen. Man konstruiert damit die folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(x):=\begin{cases}0 &\text{wenn}\;x\le 0,\\ e^{-1/x}&\text{wenn}\;x>0.\end{cases} \end{eqnarray}$ (Graph) Leider ist die Funktion an der Stelle null offenbar nicht analytisch, was man als unästhetisch ansehen kann. Kann denn überhaupt anstelle einer glatten eine analytische Funktion zu der genannten Fragestellung gefunden werden?
21.09.2018, 13:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Analytisch heißt hier u.a., dass es eine Nullumgebung geben muss, wo die Funktion mit ihrer Taylorreihe übereinstimmt. $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ sorgt nun aber dafür, dass alle Ableitungen $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0)=0 \end{eqnarray}$ sind, damit ist auch die Potenzreihe gleich 0 und kann damit für kein $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ sein. Fazit: Eine glatte (im Sinne: unendlich oft differenzierbare) Funktion, die deine Bedingungen erfüllt, gibt es, du hast ja selbst eine genannt. Eine derartige analytische Funktion gibt es hingegen nicht.
21.09.2018, 17:33	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ja, stimmt. Die linksseitigen Ableitungen bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ sind alle null. Und wenn die n-te Ableitung stetig sein soll, muss also auch die rechtsseitige n-te Ableitung null sein. Da jede analytische Funktion natürlich auch glatt ist, muss das für jede Ableitung gelten. Dann verschwindet die Taylorreihe. Da aber $\begin{eqnarray} f(x)>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt ist, kann es keine noch so kleine Umgebung mit Übereinstimmung geben.

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