Quadratische Pyramide, Höhe berechnen

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ERZ17 Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Pyramide, Höhe berechnen
Meine Frage:
Eine Quadratische Pyramide besteht aus 5 Kugeln. Jede einzelne Kugel hat einen Durchmesser von 1m. Wie hoch ist die Pyramide?

Meine Ideen:
Die Pyramide ist 2x2m, da 4 Kugeln unten liegen (also ein Quadrat ergeben) die 5te Kugel oben drauf liegt. aber da die 5te Kugel ja etwas "einsinkt" wenn sie mittigt oben auf den anderen 4 Kugeln liegt, kann die Pyramide ja nicht 2m hoch sein... da fehlt mir der Lösungsweg. Kann jemand behilflich sein?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Pyramide höhe berechnen
Das mit dem Einsinken ist schon mal gut erkannt. Vielleicht bringen Dich 2 Hinweise weiter:
1. Die obere Kugel hat mit den anderen 4 Kugeln idealerweise jeweils einen Berührpunkt auf den Kugeloberflächen.
2. Die Verbindung von Kugelmittelpunkt und jedem Punkt auf der Kugeloberfläche ist orthogonal zur Tangentialebene in dem Oberflächenpunkt.
 
 
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Pyramide, Höhe berechnen
Hallo ERZ17

meiner Meinung nach ist die Aufgabe nicht klar formuliert. Zwar kann ich mir recht gut vorstellen, wie da aus 5 Kugeln eine Art "Pyramide" gebaut wird, indem man 4 davon in quadratischer Anordnung eng aneinander gerückt auf eine Grundfläche legt (und darauf am besten anklebt), um dann eine fünfte Kugel oben drauf zu legen.
Aber: was ist nun am Ende etwa mit der "Höhe der Pyramide" gemeint ? Ist die (geometrische) Pyramide mit quadratischer Grundfläche gemeint, deren Ecken durch die Kugelmittelpunkte definiert sind - oder ist mit der "Pyramide" die gesamte "Skulptur" gemeint, welche aus 5 Vollkugeln besteht und auch Zwischenräume hat ?

Für die Lösung ist es aber bestimmt sinnvoll, sich zunächst einmal mit der genannten exakten geometrischen Pyramide zu beschäftigen. Betrachte alle ihre Kantenlängen und wende dann etwas Pythagoras und eventuell Trigonometrie an !
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rumar
meiner Meinung nach ist die Aufgabe nicht klar formuliert.

Das kann man laut sagen...

Immerhin stimmt das ganze Pyramidengerede insoweit, dass die Mittelpunkte der 5 Kugeln die Eckpunkte einer quadratischen Pyramide bilden, zudem einer mit gleicher Grundseiten- wie Seitenkantenlänge - man könnte diese Pyramide auch kurz als halbes (!) reguläres Oktaeder bezeichnen.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rumar
meiner Meinung nach ist die Aufgabe nicht klar formuliert.

Aufgrund Frage und Ideen habe ich keinen Zweifel, dass die Höhe bis zum Scheitelpunkt der oberen Kugel gemeint ist, damit man sich über die räumlichen Gegebenheiten und das Einsinkproblem Gedanken machen muß.
Dazu gehört auch das Auffinden des Zwischenergebnisses
Zitat:
Original von HAL 9000
zudem einer mit gleicher Grundseiten- wie Seitenkantenlänge
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In einem kartesischen -Koordinatensystem könnte man die vier unteren Kugeln so auf die -Ebene legen, daß ihre Mittelpunkte die Koordinaten bekommen (mit allen möglichen Vorzeichenkombinationen in den ersten beiden Koordinaten). Die fünfte Kugel legt man oben drauf. Sie hat mit einem als Mittelpunkt.
Nun soll diese letzte Kugel die vier anderen berühren. Aus Symmetriegründen genügt es, die Berührung mit der Kugel des I. Oktanten, also der mit dem Mittelpunkt , zu untersuchen. Zwei Kugeln berühren sich aber genau dann von außen, wenn die Summe ihrer Radien gleich dem Abstand ihrer Mittelpunkte ist. Das führt auf die Gleichung



Gesucht ist die positive Lösung dieser Gleichung. Kennt man sie, hat man . Und was man auch immer unter der "Höhe der Pyramide" verstehen mag, sie läßt sich dann daraus sofort ermitteln.
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