Rechtwinkliges Dreieck

23.09.2018, 20:15

dankbarer Gast

Rechtwinkliges Dreieck

Hallo zusammen!

Ich sitze hier vor einem Rätselbuch von Sam Loyd und habe das Gefühl, ich könnte überhaupt nichts (ist vielleicht auch so verwirrt

). Weshalb? Nun, eigentlich scheint es eine ganz einfache Aufgabe zu sein:

Gegeben ist eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks: Länge 47 Einheiten.
Gesucht sind die beiden anderen Seiten. Bedingung: die Seiten müssen ebenfalls ganze Zahlen sein.
Natürlich ist das Ganze in eine der üblichen Sam-Loyd-Geschichtchen verpackt und kommt nicht so prosaisch daher, wie ich es hier präsentiere.

Ich habe lange nach einer logischen Herangehensweise gesucht, aber leider einfach keine gefunden.
Irgendwann bin ich dann in schieres Durchprobieren übergegangen (was hier eine lange Herumrechnerei bedeuten würde) und schließlich habe ich mittels Wolfram alpha geschummelt und es mir lösen lassen. Ups

Wie würdet Ihr dieses Problem angehen?

Ganz herzlichen Dank Euch allen und noch einen schönen Sonntagabend!
LG
Marc

P.S.
Wer genau wie ich Probleme damit hatte, der kann auf der Internetseite von wolfram alpha "solve a^2 + b^2 = c^2 for a=47" eingeben, runterscrollen und findet die einzige mögliche Lösung unter "integer solution".

23.09.2018, 21:16

riwe

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RE: Rechtwinkliges Dreieck
$\begin{eqnarray*} 47^2=(c-b)(c+b) \end{eqnarray*}$
und man ist (fast) am Ziel Augenzwinkern

23.09.2018, 21:37

Leopold

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Ganzzahlige Lösungen der Pythagorasgleichung $\begin{align*} a^2 + b^2 = c^2 \end{align*}$ nennt man pythagoreische Tripel. Das einfachste und berühmteste ist $\begin{align*} a=3,\, b=4, \, c=5 \end{align*}$ . Für die pythagoreischen Tripel kennt man auch eine Parameterdarstellung:

$\begin{align*} a = 2mn, \ b = m^2 - n^2, \ c = m^2 + n^2 \end{align*}$

Hierbei sind $\begin{align*} m,n \end{align*}$ positive ganze Zahlen mit $\begin{align*} m>n \end{align*}$ . Die Formeln für $\begin{align*} a,b \end{align*}$ kann man natürlich vertauschen.

Vervielfacht man bei einem pythagoreischen Tripel $\begin{align*} (a,b,c) \end{align*}$ alle mit demselben positiven ganzzahligen Faktor $\begin{align*} k \end{align*}$ , so ist auch $\begin{align*} (ka, kb, kc) \end{align*}$ wieder ein pythagoreisches Tripel. Anschaulich entspricht das einer Streckung des Dreiecks mit dem Faktor $\begin{align*} k \end{align*}$ . Man erhält so eine Ähnlichkeitsklasse pythagoreischer Tripel.

Wählt man in der Formel oben $\begin{align*} m,n \end{align*}$ als teilerfremde ganze Zahlen mit $\begin{align*} 0 < n < \left( \sqrt{2} - 1 \right) m \end{align*}$ , so erhält man aus jeder Ähnlichkeitsklasse pythagoreischer Tripel, bei denen $\begin{align*} a<b \end{align*}$ ist, genau einen Vertreter.

Die Wahl $\begin{align*} m=3, \, n=1 \end{align*}$ etwa führt auf $\begin{align*} a = 6, \, b = 8, \, c = 10 \end{align*}$ . Dazu gehört die Ähnlichkeitsklasse

$\begin{align*} (3,4,5), (6,8,10), (9,12,15), (12,16,20), \ldots \end{align*}$

Oder $\begin{align*} m=5, n=2 \end{align*}$ . Damit bekommt man die Ähnlichkeitsklasse

$\begin{align*} (20,21,29), (40,42,58), (60,63,87), (80,84,116), \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} a = 47 \end{align*}$ kann man mit der Formel oben nicht direkt erreichen, weil ja $\begin{align*} a=2mn \end{align*}$ immer eine gerade Zahl ist. Daher nimmt man das Doppelte, also $\begin{align*} a=2mn=94 \end{align*}$ . Das führt auf $\begin{align*} mn=47 \end{align*}$ . Und weil 47 eine Primzahl ist, muß $\begin{align*} m=47, \, n=1 \end{align*}$ gelten. Damit bekommt man das Tripel $\begin{align*} a=94, \, b=2208, \, c = 2210 \end{align*}$ . Das ist die Ähnlichkeitsklasse

$\begin{align*} (47,1104,1105), (94,2208,2210), (141,3312,3315), (188,4416,4420), \ldots \end{align*}$

Wenn man nicht dieses schwere Geschütz der Parameterdarstellung auffahren will, kann man auch versuchen, über die binomische Formel

$\begin{align*} (n+1)^2 = n^2 + 2n+1 \end{align*}$

Lösungen zu erhalten. Man beginnt mit $\begin{align*} 2n+1=47^2 \end{align*}$ und berechnet daraus $\begin{align*} n \end{align*}$ . Mit diesem Ansatz kann man zwar nicht alle pythagoreischen Tripel erhalten. Aber man will ja auch nur ein bestimmtes. Und wenn es damit geht, ist es auch gut.

23.09.2018, 22:11

dankbarer Gast

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Rechtwinkliges Dreieck
Ganz lieben Dank Ihr beiden, da wäre ich selber sicher nicht drauf gekommen.

Die Parameterdarstellung war mir auch gänzlich unbekannt, finde ich aber sehr elegant...
Wenn noch eine Anschlußfrage gestattet ist: ist die Einschränkung

Zitat:

teilerfremde ganze Zahlen mit $\begin{align*} 0 < n < \left( \sqrt{2} - 1 \right) m \end{align*}$

trivial zu erklären oder sollte ich das erstmal einfach als gegeben hinnehmen?

Nochmal vielen Dank! Ich bin begeistert! Ihr habt mir den Abend versüßt Tanzen

und gerade mein Interesse an Mathematik wiederbelebt, das seit vielen Jahren im Dornröschenschlaf gelegen hat.

Beste Grüße
Marc

23.09.2018, 22:37

Leopold

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Dividiere die rechte Ungleichung durch $\begin{align*} m \end{align*}$ und addiere 1. Dann erhältst du äquivalent

$\begin{align*} \frac{n}{m} + 1 < \sqrt{2} \end{align*}$

Ungleichungen zwischen positiven Zahlen darf man quadrieren:

$\begin{align*} \frac{n^2}{m^2} + \frac{2n}{m} + 1 < 2 \end{align*}$

Und jetzt wieder 1 subtrahieren und mit $\begin{align*} m^2 \end{align*}$ multiplizieren. Dann noch $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ subtrahieren:

$\begin{align*} 2mn < m^2 - n^2 \end{align*}$

Damit hat man die folgende Äquivalenz:

$\begin{align*} n < \left( \sqrt{2} - 1 \right) m \ \ \Leftrightarrow \ \ 2mn < m^2 - n^2 \end{align*}$

Und wenn du dir die Formeln der Parameterdarstellung anschaust, siehst du, daß diese Bedingung gerade $\begin{align*} a<b \end{align*}$ garantiert.

23.09.2018, 23:19

dankbarer Gast

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Klasse, vielen Dank!

24.09.2018, 09:22

HAL 9000

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Da von "Seite" statt "Kathete" die Rede war, sollte man die Möglichkeit von "Hypotenuse=47" noch diskutieren:

Dann müsste es eine Darstellung $\begin{eqnarray*} 47=k(m^2+n^2) \end{eqnarray*}$ mit positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k,m,n \end{eqnarray*}$ geben (siehe Leopolds Ausführungen), von denen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind und nicht beide ungerade. Letzteres bedeutet aber $\begin{eqnarray*} m^2+n^2\equiv 1\bmod 4 \end{eqnarray*}$ , einen solchen Teiler >1 besitzt aber die Primzahl $\begin{eqnarray*} 47\equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ nicht. Somit ist "Hypotenuse=47" unmöglich.

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