Partialbruchzerlegung

24.09.2018, 08:46

Thomas7

Partialbruchzerlegung

Hallo miteinander

Ich habe folgenden Bruch gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4-x^2-2} \end{eqnarray*}$

Wird hier nun die Partialbruchzerlegung angewandt, resultiert:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3 (x^2-2)} - \frac{1}{3 (x^2+1)} \end{eqnarray*}$

Konzeptuell ist mir nicht klar, woher die 3 im Nenner kommt. Ist das einfach die maximale Potenz des Anfangsbruches minus 1 ?

Danke fürs Klarstellen! smile

24.09.2018, 09:05

adiutor62

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RE: Partialbruchzerlegung
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scri...chzerlegung.htm

24.09.2018, 09:52

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Thomas7
Konzeptuell ist mir nicht klar, woher die 3 im Nenner kommt. Ist das einfach die maximale Potenz des Anfangsbruches minus 1 ?

Du kannst ja einfach mal rückwärts rechnen. Dann wirst du sehen, warum da ein Faktor 3 stehen muß. smile

24.09.2018, 23:55

Thomas7

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RE: Partialbruchzerlegung
Vielen Dank für die Hinweise und auch den Link! Nun ist's klar. smile

Ich habe aber noch ein Integral, bei dem ich nicht weiss, wie ich beginnen soll:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}{x^2 sin^{2019}(x) e^{-x^4}} \end{eqnarray*}$

Wie würdet ihr da vorgehen?

25.09.2018, 02:32

Helferlein

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Symmetrie ist hier das Zauberwort.

25.09.2018, 09:44

Thomas7

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Könntest du mir diesen Hinweis evtl. ein wenig ausführen?
Die Symmetrie von sin, oder von welcher Symmetrie sprichst du (die mir helfen könnte)?

25.09.2018, 09:45

klarsoweit

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Eigentlich die Symmetrie jedes einzelnen Faktors und daraus resultierend die Symmetrie des Integranden. smile

25.09.2018, 16:07

Thomas7

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Ok... Also, wenn ich ehrlich bin, so hilft mir das nur bedingt.
Heisst das, dass ich etwas substituieren kann, oder wie hilft mir diese Information konkret?

25.09.2018, 16:26

HAL 9000

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Noch etwas deutlicher: Die Integrandenfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\sin^{2019}(x)e^{-x^4} \end{eqnarray*}$ ist eine ungerade Funktion, d.h., ihr Graph liegt punktsymmetrisch zum Ursprung, in Formeln: Es gilt hier $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Das hat (hinsichtlich Rechenerleichterung) erfreuliche Konsequenzen für die Integralberechnung, sofern das Integrationsintervall (so wie hier) symmetrisch um die 0 herum liegt. Augenzwinkern

Technisch würde man das so "erledigen", dass man das Integral aufteilt gemäß $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \ldots = \int\limits_{-1}^0 \ldots ~+~ \int\limits_0^1 \ldots \end{eqnarray*}$ , und dann in einem der beiden Teilintegrale die Substitution $\begin{eqnarray*} u=-x \end{eqnarray*}$ (d.h. Vorzeichenwechsel) durchführt.

27.09.2018, 23:56

mYthos

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Das Ding ist aber recht ekelig und kaum algebraisch integrierbar.
Näherungsweise ergibt sich für die rechte Intervallhälfte $\begin{eqnarray*} 1.279193870 \cdot 10^{-155} \end{eqnarray*}$

mY+

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