Fachgebiet! Welcher Körper taucht tiefer ein?

26.09.2018, 13:37

Tiefentaucher

Welcher Körper taucht tiefer ein?

Meine Frage:
Die Frage ist welcher Körper tiefer ins Wasser eintaucht bei sonst gleicher Beschaffenheit?

Meine Ideen:
Ich habe gedacht das beide Körper gleicht tief eintauchen das das Volumen beider Körper ja das selbe ist?

26.09.2018, 13:43

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mehr was für die Physiker nebenan.

Hier schließe ich.

Viele Grüße
Steffen

27.09.2018, 15:38

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das Thema unzweifelhaft auch einen geometrischen Bezug aufweist, habe ich es wieder geöffnet.
Rein physikalische Fragen sind bitte weiterhin an die Kollegen nebenan zu stellen.

Gr mY+

27.09.2018, 15:49

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welcher Körper taucht tiefer ein?
Ein schwimmender Körper verdrängt soviel Wasser wie er selbst wiegt.
Annahme: Beide Körper sind gleich schwer.
Dann ist das verdrängte Wasservolumen in beiden Fällen gleich.
Das bedeutet aber nicht, dass beide Körper gleich tief eintauchen.

27.09.2018, 16:08

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welcher Körper taucht tiefer ein?
Hallo Tiefentaucher,

(1.) vermutlich soll angenommen werden, dass die Körper eine homogene Dichte haben, welche kleiner ist als die von Wasser, damit die Körper nicht einfach auf den Grund sinken.

(2.) die angefügten Skizzen könnte man unterschiedlich interpretieren, beispielsweise als Querschnitte prismatischer Körper (Parallelkanten senkrecht zur Bildebene) oder etwa als Seitenansicht eines Kreiszylinders und eines Kegelstumpfs).

Nehmen wir etwa zur Vereinfachung an, dass die Dichte des Körpers gerade der Hälfte der Dichte des Wassers entspricht. Dann würde beim schwimmenden Körper (nach dem archimedischen Prinzip) exakt die Hälfte des Volumens des Körpers unterhalb des Wasserspiegels liegen. Das quadratische Prisma bzw. der Zylinder mit quadratischer Seitenansicht würde sich also jedenfalls in eine solche Lage bewegen, bei der die Ebene der Wasseroberfläche genau durch seinen geometrischen Schwerpunkt (=Mittelpunkt) verläuft.

Das Prisma mit trapezförmiger Querschnittsfläche bzw. der Kegelstumpf würde aber so im Wasser liegen, dass die Wasseroberflächenebene das Volumen des schwimmenden Körpers exakt halbiert und dabei der Schwerpunkt des Körpers möglichst hoch liegt. Gerade habe ich dies mit einem kegelstumpfförmigen Korken ausprobiert und festgestellt, dass der Korken schräg auf dem Wasser liegt. Will man, dass die kurze Parallelseite des Querschnittstrapezes parallel zur Wasseroberfläche unter dieser liegt, dann muss man dies allenfalls durch eine Festhaltevorrichtung erzwingen, damit der Körper nicht kippen kann.

Trotzdem kann man sagen, dass der Körper mit dem quadratischen Querschnitt (gelb dargestellt) tiefer ins Wasser eintauchen wird.

(Nachtrag: da stimmte nicht alles ganz. Siehe den folgenden Beitrag von Dopap und meine spätere Nachricht)

27.09.2018, 19:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

wirklich? doch eher andersherum.
Zum Kippen: der Angriffspunkt der Auftriebskräfte = Metazentrum sollte immer oberhalb des Angriffspunktes der Schwerkraft= Schwerpunktes liegen

27.09.2018, 22:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eher an eine mathematische Behandlung des Problemes gedacht.
Ansonsten wäre die Schließung des Themas gerechtfertigt.
------------
Für eine mathematische Behandlung machen wir versuchsweise einmal folgende Voraussetzungen:

Körper 1: Zylinder, R = 3, h = 2
Körper 2: Kegelstumpf, R = 3, r = 2, h = 2
Dichte beider Körper: $\begin{eqnarray*} \rho = 0.5 \end{eqnarray*}$
Eintauchtiefe des Zylinders: $\begin{eqnarray*} t_z \end{eqnarray*}$
Eintauchtiefe des umgekehrten Kegelstumpfes: $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$

An physikalischen Kenntnissen ist nur das Prinzip des Archimedes nötig.
Für den Zylinder ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} R^2 \pi h \rho = R^2 \pi t_z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_z = h \rho = 2 \cdot 0.5 \end{eqnarray*}$ = 1
---------------

Kegelstumpf:
Strahlensatz für $\begin{eqnarray*} R, r, h, r_1, t: \ (R-r) : h = (r_1 - r) : t \end{eqnarray*}$ ; daraus folgt $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$
Wieder Archimedes ...

Damit gelangen wir (zuerst allgemein) zu einer Gleichung 3. Grades für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , sie lautet nach einigen Kürzungen und Vereinfachungen

$\begin{eqnarray*} (R^2 + Rr + r^2)h^3 \rho = (R-r)^2t^3 + 3(R-r)hrt^2 + 3h^2r^2t \end{eqnarray*}$

Mit den Werten von oben:

$\begin{eqnarray*} t^3+12t^2+48t-76=0 \end{eqnarray*}$

t = rd. 1,19

Der Kegelstumpf taucht als tiefer ein (was der Form des Körpers nach auch logisch erscheint)

mY+

27.09.2018, 22:17

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos:

"Ich hatte eher an eine mathematische Behandlung des Problemes gedacht."

Nein, mYthos, ich habe dir mitgeteilt, dass dies notwendig wäre !

Gruß , rumar

27.09.2018, 23:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Liebe(r) rumar, mit meinem Statement habe ich eigentlich zum Ausdruck bringen wollen, dass die nachfolgenden Ausführungen - vor allem von Willy und Dopap - weiterhin wenig mathematische Bezüge aufweisen.

Auch deswegen habe die Rechnung nachgeschoben.

mY+

28.09.2018, 18:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Aufgabe mit Sachbezug ist eben immer eine Physikalische.
Sonst kann man gleich fragen welche waagrechte Linie die helle Fläche halbiert.
Genauer: man müsste zeigen, dass der helle "Körper" unabhängig von den Dichten immer tiefer als er Gelbe eintaucht sofern es überhaupt zum Schwimmen kommt.
Und die Frage es Kippens ist damit immer noch offen.

Da hat Steffen Bühler durchaus nicht falsch gelegen.

28.09.2018, 21:34

Blerim

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Physikern antwortet doch keiner. Das dauert 1000 Jahre bis jemand antwortet.

29.09.2018, 11:46

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

stabile Schwimmlagen
Hallo Dopap

du hast wohl Recht. Ich nehme nun als Beispiel doch lieber einen prismatischen Balken mit gleichschenkligem Trapez als Querschnittsfläche. Wenn dieser (außerdem genügend lange) Balken so im Wasser schwimmt, dass die schmalere Parallelseite unten liegt (wie im Bild), dann wird der Balken tatsächlich tiefer unter die Wasseroberfläche reichen als im Fall des rechteckigen oder quadratischen Querschnitts.
Allerdings könnte man den Balken auch umgekehrt ins Wasser legen (mit der breiten Seite unten und der schmalen oben). In diesem Fall würde er weniger tief als der quaderförmige Balken gleicher Querschnittsfläche eindringen.
Ist der Balken genügend lang und genügend breit, wird es dem schwimmenden Balken ja nicht gelingen, sich "von selbst" von einer dieser stabilen Lagen in die andere zu drehen.
Ich sehe jetzt auch (noch) nicht, ob die eine dieser beiden (lokal) stabilen Lagen insgesamt etwas "stabiler" (energieärmer) ist als die andere. Deshalb möchte ich nun noch untersuchen, in welcher der beiden Lagen der Massenschwerpunkt des Trapez-Balkens tatsächlich tiefer liegt (also auch unterhalb der Wasseroberfläche = horizontal volumenhalbierender Ebene des Balkens).
So gesehen nun doch eine recht interessante Frage !

=================================================================

Nachtrag, etwas später:

Hier meine mittels Geogebra erstellte Grafik (bitte drauf klicken, damit sie nicht mehr invertiert erscheint) :

[attach]48054[/attach]

Tatsächlich liegt bei dieser Position (schmale Seite unten) der Schwerpunkt des Balkens knapp unterhalb der volumenhalbierenden Horizontalebene, welche ja auch mit der Ebene des Wasserspiegels übereinstimmen muss. Insgesamt ist also diese Schwimmlage doch die "energieärmere" als die mit umgekehrtem Balken (breite Seite unten).

30.09.2018, 17:28

isi1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: stabile Schwimmlagen

Zitat:

Original von rumarIst der Balken genügend lang und genügend breit, wird es dem schwimmenden Balken ja nicht gelingen, sich "von selbst" von einer dieser stabilen Lagen in die andere zu drehen.

An sich ist die Berechnung der Lage schwimmender Balken recht aufwendig. Man muss eben kleine Auslenkungen annehmen und das jeweilige Drehmoment ermitteln - dabei kommen sogar Hytereseeffekte vor. Z.B. schwimmt ein Balken mit rechteckigem Querschnitt mit einem Artgewicht von 0,5 stabil nur in der 'Spießkantlage', d.h. die Diagonale ist auch die Wasserlinie.
Bei anderen Dichten ist fast jeder Winkel möglich. Parallel zu den Kanten schwimmen nur Balken mit Dichten nahe Null oder nahe 1.
Bei den trapezförmigen Querschnitt wird es wohl noch deutlich komlizierter sein.

30.09.2018, 18:11

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: stabile Schwimmlagen
Danke, isi1 , für die Antwort !

Ich nehme aber doch an, und zwar insbesondere auch aus Symmetriegründen, dass die in meiner obigen Zeichnung dargestellte Schwimmlage doch wenigstens metastabil sein müsste.
Aber vielleicht motivierst du mich nun doch noch zu genaueren Untersuchungen. Nach meiner Ansicht handelt es sich nun bei diesen Fragestellungen doch sehr weitgehend um mathematische.

30.09.2018, 19:15

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der Schwimmstabilität ist tatsächlich schwierig, dafür gibt es Schiffskonstrukteure. Augenzwinkern

Aber mal was beinahe Mathematisches:

Ein Quader (dickes Brett) liegt quer auf einem Rundholz. Ab welchem Höhe/Radius Verhältnis ist Lage stabil?

30.09.2018, 21:40

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend Dopap

Verstehe ich die Frage richtig ? Ich sehe vor mir den Querschnittskreis des zylindrischen Rundholzes (Achse in Blickrichtung), und quer darauf liegend den rechteckigen Streifen (Längsschnitt des quaderförmigen Balkens). Soll nun dieser Balken genau mittig im obersten Punkt aufliegen ? Falls er auch etwas schief (also nicht exakt mittig) aufliegen oder ein wenig "schaukeln" darf, müsste man wohl auch die Reibung zwischen Rundholz und Balken berücksichtigen.

Nimmt man aber da sehr große (unendliche?) Gleit-Reibung an, dann würde wohl für eine solche Schieflage genügen, dass der Schwerpunkt des Balkens genau vertikal über dem Berührpunkt (Berührungs-Mantellinie) liegt, damit der Balken nicht wegrutscht oder wegkippt.
Aber jedenfalls gibt es da ja nur ein recht fragiles "Gleichgewicht" ... ich würde mich jedenfalls nur ungern da drauf stellen ...

01.10.2018, 02:02

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig gesehen, Brett quer auf Baumstamm beschreibt es perfekt. Das Brett führt dann angeregt leichte Schwingungen aus. Brett auf Besenstiel nicht.

Man lässt Reibungsfragen außen vor und definiert eine Verzahnung der Objekte.

Der Schwerpunkt S des Brettes liegt in d/2 über dem Berührpunkt B und d/2+r über dem Mittelpunkt.
Man rollt ( kippt ) jetzt das Brett ein wenig um das Bogenstück $\begin{eqnarray*} \Delta b \end{eqnarray*}$ zum neuen Berührpunkt $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ und verfolgt dabei die Kurve des Schwerpunktes. Bei stabilem Gleichgewicht "steigt" die erst mal an.
Da $\begin{eqnarray*} \Delta b \end{eqnarray*}$ klein sein darf, kann man Linearisierung(en) vornehmen.

Zwischen d und r entsteht eine einfache Beziehung.

Eine fast rein mathematische Frage. Augenzwinkern

01.10.2018, 08:04

isi1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
das mit der Schwimmstabilität ist tatsächlich schwierig, dafür gibt es Schiffskonstrukteure. Augenzwinkern

Für einen Rechteckbaken (oder Brett) ist hier eine EXCEL-Berechnung:
https://www.physikerboard.de/htopic,44803,spie%DFkant.html

Zitat:

Original von DopapEin Quader (dickes Brett) liegt quer auf einem Rundholz. Ab welchem Höhe/Radius Verhältnis ist Lage stabil?

Wenn die beiden lang genug sind, scheinen sie mir immer stabil zu sein.
Magst bitte mal eine Skizze zeichnen?

01.10.2018, 11:35

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn die beiden lang genug sind, scheinen sie mir immer stabil zu sein.
Magst bitte mal eine Skizze zeichnen?

trügerisch. Eine Kiste egal wie breit wird immer vom Besenstiel kippen. Es geht lediglich darum ob das Brett / Kiste im Potentialtiefpunkt liegt, d.h. ob zur Lageänderung Arbeit notwendig ist.
Schwerpunktshöhe
stabil:

instabil:

Ich glaube es muss d < 2r gelten.

02.10.2018, 20:45

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dopap,

hier noch meine Darstellungen (Geogebra) zum Balken, der quer entweder auf einer dickeren oder dünneren Rolle liegt (und aus seiner Mittel-Lage heraus gestört wird):

[attach]48069[/attach] [attach]48070[/attach]

Auf der dickeren Rolle ergibt sich bei symmetrisch aufgelegtem Balken für den waagrecht mittig liegenden Balken ein (metastabiles) Energieminimum.
Auf der dünnen Rolle haben wir an derselben Stelle eine labile Lage - jede kleinste Auslenkung führt zum Abkippen nach links oder nach rechts.

03.10.2018, 06:54

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

genau so!

man müsste Geogebra können *seufz*

03.10.2018, 09:32

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

Stabilitätsberechnung
Ich habe nun noch die Rechnung durchgeführt, die die von Dopap schon genannte Stabilitätsbedingung $\begin{eqnarray*} d<\,2r \end{eqnarray*}$ belegt.

Die Höhe des Balkenschwerpunkts S über dem Kreismittelpunkt M ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} z(\alpha) = \left(r+\frac{d}{2}\right)\,cos(\alpha)+r\,\alpha\,sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Kippwinkel ist.

Für die Beurteilung der Stabilität in der Ruhelage ( $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ ) geht es uns insbesondere um den Wert der zweiten Ableitung

$\begin{eqnarray*} z''(\alpha)\ =\ r\cdot\,[cos(\alpha)-\alpha\,sin(\alpha)] - \frac{d}{2}\,cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} z''(0)\ =\ r - \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$

Damit der Schwerpunkt dort in einem "Potentialtopf" liegt, sollte $\begin{eqnarray*} z''(0)\ =\ r - \frac{d}{2}\,>\,0 \end{eqnarray*}$ sein (*), und dies läuft exakt auf die Bedingung $\begin{eqnarray*} d<\,2r \end{eqnarray*}$ hinaus.

(*) Dass z'(0)=0 ist, haben die geneigten Leseratten bestimmt schon verifiziert ... und auch, dass man sich hier nicht etwa auch noch um höhere Ableitungen wie z.B. $\begin{eqnarray*} z'''(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z''''(0) \end{eqnarray*}$ kümmern muss.

03.10.2018, 21:58

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

man müsste Geogebra können

GEO- ist auch nicht schwieriger als AL- gebra ... Lehrer

Neue Frage »

Antworten »

Fachgebiet! Welcher Körper taucht tiefer ein?

Verwandte Themen