Charakteristisches Polynom Nullstellenberechnung

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Orly Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom Nullstellenberechnung
Hallo,

Ich bin gerade dabei mich in das Thema der Jordan Normalform einzuarbeiten. Leider sieht es so aus als hätte ich schon beim Char. Polynom und dessen Nullstellenberechnung einige Probleme. Ich gebe hier mal das Beispiel, welches ich gerade selbst versucht habe zu lösen aber wohl irgendwo einen Fehler gemacht habe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen diesen zu finden. Ich beziehe mich dabei auf die Beispielaufgabe aus folgendem Video:

https://www.youtube.com/watch?v=mbqb5VUcAd4

Ich habe einen (wie ich jetzt weiß sehr umständlichen) Ansatz gewählt:



In diesem Video wird allerdings x (bzw. Lambda) von den Matrixwerten abgezogen, während in anderen Beispielen (siehe z.B. Wikipedia "Charakteristisches Polynom") Lambda minus Matrixwert gerechnet wird. Ob das einen Unterschied macht wäre schon meine erste Frage.

Ausmultipliziert und zusammengefasst hatte ich dann:



Nun habe ich durch herumprobieren die Nullstelle x=2 gefunden. Dann habe ich eine Polynomdivision mit (x-2) durchgeführt und folgendes erhalten:



Die Nullstelle x=1 fiel mir dann auf und ich führte eine weitere Polynomdivision mit (x-1) durch. Ich bekam als Ergebnis:



Jetzt liefert mir die P-Q-Formel eine negative Wurzel und damit hatte ich ein Problem. Ich schaute mir das Video an und sah, dass eine Nullstelle bei x=1 schon komplett falsch ist, abgesehen davon dass mein Weg von Beginn an umständlich war.

Aber es sollte doch trotzdem das richtige herauskommen, was ging hier schief?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom Nullstellenberechnung
Ich hab mir das Video jetzt nicht angeschaut, aber generell hast Du bei einer Form wie (x-a)*(x-b) die Nullstellen sofort parat, nämlich a und b. Setzt Du diese Zahlen nämlich jeweils auf Null, ist auch das Produkt Null. Da muss also gar nichts ausmultipliziert werden.

Viele Grüße
Steffen
Orly Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristisches Polynom Nullstellenberechnung
Stimmt natürlich, da hatte ich wohl nur Kochrezept vor Augen anstatt meinen Kopf zu benutzen Hammer

Ich glaube auch die Methode der Determinantenberechnung, die ich verwendet habe, gilt nur für 3x3 Matrizen und nicht größere. Ich denke die Frage hat sich damit erledigt. Sorry, da habe ich einfach Quatsch gemacht.

Vielleicht möchtest du den Thread einfach löschen oder als erledigt markieren, wenn noch weitere Leser ihre Zeit daran verschwenden fühle ich mich schlecht. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen Beitrag sollte man nicht löschen, denn deine Fragen und die Antworten sind für jeden Anfänger lehrreich.

Zum Vorzeichen möchte ich noch etwas bemerken, also zu deiner Frage, ob man oder ansetzen soll. Eigenwerte von sind die Nullstellen des (normierten) charakteristischen Polynoms . Es ist aber egal, ob man die Nullstellen von oder betrachtet, denn die Nullstellenmengen sind gleich.
Zur Berechnung der Eigenraeume bevorzuge ich die Berechnung des Kerns von , weil dieses LGS im wesentlichen die Matrix A enthält. Das ist wegen Kern=-Kern auch egal.
Orly Auf diesen Beitrag antworten »

Super jetzt ist mir das verständlich. Die Berechnung der Eigenräume wie du sie hier vorschlägst ist auch bei mir im Studium die übliche Methode. Vielen Dank!
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