Flußintegral

26.09.2018, 18:44

hars

Flußintegral

Meine Frage:
Hallo.
Ich sehe erstmals folgende Angabe und habe überhaupt keine Ahnung was ich damit machen soll:

Berechnen Sie das Flußintegral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \int_{F}^{} \!K \, n \, dA \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und B: $\begin{eqnarray*} y^2+z^2\leq 1;<br /> x^2-y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie gesagt, ich hab leider überhaupt keine Ahnung davon und wie genau ich hier weiter kommen.
Wäre über jede Hilfe dankbar!

27.09.2018, 13:55

HAL 9000

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Irgendwie sehr lückenhaft dargestellt... Ich versuch mal zusammenzureimen, was eine plausible Variante davon sein könnte:

Zitat:

Es wird integriert über die Randfläche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der dreidimensionalen Menge

$\begin{eqnarray*} B = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y^2+z^2\leq 1;\, x^2-y^2\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Berechnet werden soll $\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \vec{K}\cdot \dd\vec{A} = \iint\limits_F \vec{K}\cdot \vec{n} \dd A \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist $\begin{eqnarray*} \dd A \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt eines infinitesimalen Flächenstücks und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein zugehöriger Normalenvektor.

Falls das so gemeint ist, dann solltest du dir zunächst eine Vorstellung davon verschaffen, wie diese Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als geometrischer Körper so aussieht.

Als nächstes wäre dann zu klären, ob du das direkt als Flußintegral berechnen sollst (da wären die diversen Oberflächenteile von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zu parametrisieren), oder ob du bereits den Gaußschen Integralsatz welcher besagt

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \vec{K}\cdot \dd\vec{A} = \iiint\limits_B \operatorname{div}\vec{K} ~ \dd V \end{eqnarray*}$

nutzen darfst - das sieht vom Berechnungsaufwand her deutlich einfacher aus.

28.09.2018, 12:19

hars

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also divK =1+1+1=3, richtig?

und jetzt ist es wahrscheinlich sinnvoll x,y,z in Kugelkoordinaten umzuwandeln:
$\begin{eqnarray*} x=r*cos\phi*sin\gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r*sin\Phi*cos\gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=r*cos\gamma \end{eqnarray*}$

bei den Grenzen hab ich jetzt noch Probleme:

die Grenzen für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2*\pi \end{eqnarray*}$
und bei den Grenzen für r und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt wieder keine Idee was ich da machen könnte.

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ von 0 bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

28.09.2018, 13:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von hars
also divK =1+1+1=3, richtig?

Richtig, deshalb ist

$\begin{eqnarray*} \iiint\limits_B \operatorname{div}\vec{K} ~ \dd V = 3\iiint\limits_B ~ \dd V = 3V(B) \end{eqnarray*}$

schlicht und einfach das dreifache Volumen des geometrischen Körpers $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von hars
und jetzt ist es wahrscheinlich sinnvoll x,y,z in Kugelkoordinaten umzuwandeln:

Ich bin mir nicht sicher, ob das hier signifikant was bringt. verwirrt

Was ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eigentlich für ein Körper? Term $\begin{eqnarray*} y^2+z^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ beschreibt einen unendlich langen Kreiszylinder mit Radius 1 (dessen Zentrumsachse die x-Achse ist), der aber an beiden Enden via Hyperbel-Zylinder (hier ist die z-Achse die Höhenachse) $\begin{eqnarray*} x^2-y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ "gekappt" wird.

Ohne Kugelkoordinaten kann man erstmal die Darstellung

$\begin{eqnarray*} B = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -1\leq y\leq 1;\; |z|\leq \sqrt{1-y^2};\, |x|\leq \sqrt{1+y^2} \right\} \end{eqnarray*}$

aufschreiben, und mit der kann man eigentlich direkt ins Rennen gehen. Wenn schon Transformation, dann würde ich mich auf Zylinderkoordinaten beschränken, genauer gesagt (y,z) in Polarkoordinaten transformieren (und damit x so lassen, wie es ist).

28.09.2018, 17:15

hars

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Ok, danke! Freude

Durch den Kreiszylinder ist ja y von -1 bis 1 begrenzt... könnte ich daraus nicht auch gleich auf $\begin{eqnarray*} -1\leq z\leq 1 \end{eqnarray*}$ schließen? verwirrt

29.09.2018, 07:57

HAL 9000

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Allenfalls als äußere Integration - aber nicht gemeinsam im Sinne $\begin{eqnarray*} \int\limits_{y=-1}^1 ~ \int\limits_{z=-1}^1 \end{eqnarray*}$ : Das wäre eine Integration über ein Quadrat statt über die Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} y^2+z^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Ich komme nochmal auf meinen Vorschlag von oben zurück:

Zitat:

Original von HAL 9000
Ohne Kugelkoordinaten kann man erstmal die Darstellung

$\begin{eqnarray*} B = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -1\leq y\leq 1;\; |z|\leq \sqrt{1-y^2};\, |x|\leq \sqrt{1+y^2} \right\} \end{eqnarray*}$

aufschreiben, und mit der kann man eigentlich direkt ins Rennen gehen.

Am besten einfach mal tun:

$\begin{eqnarray*} 3V(B) = 3\int\limits_{y=-1}^1 ~ \int\limits_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} ~ \int\limits_{x=-\sqrt{1+y^2}}^{\sqrt{1+y^2}} ~ \dd x ~ \dd z ~ \dd y = 3\int\limits_{-1}^1 2\sqrt{1-y^2}\cdot 2\sqrt{1+y^2} ~ \dd y = 24\int\limits_0^1 \sqrt{1-y^4} ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Bei der Auswertung dieses Integrals gibt es dann allerdings Schwierigkeiten: Mein CAS findet dafür nur einen Ausdruck, in den ein spezieller Gammafunktionswert eingeht. Augenzwinkern

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