Integral ist endlich

29.09.2018, 21:01

TierraT

Integral ist endlich

Hallo!

Gegeben sind folgende zwei Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int_{B_R(0)} \frac{1}{|x|^{\alpha}} dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{B_R(0)} log( \frac{1}{|x|} ) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{R(0)} = \{x \in \mathbb{R}^d : |x| \leq R \} , R>0, \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, in welchen Fällen diese Integrale endlich sind.

Ich bin leider komplett ratlos. Kann ich den Satz von Gauß verwenden?

30.09.2018, 10:15

Huggy

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RE: Integral ist endlich
Durch Verwendung n-dimensionaler Kugelkoordinaten

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoord...ugelkoordinaten

lässt sich das auf die Betrachtung der Integrale

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^R \frac {r^{d-1}}{r^\alpha}dr \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^R r^{d-1} \ln\frac {1}{r}dr \end{eqnarray*}$

zurückführen.

30.09.2018, 17:22

TierraT

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Wow, vielen Dank!

Ok, also die Determinante ist $\begin{eqnarray*} r^{d-1} * \prod_{k=1}^{d-1} (sin( \phi_{d-k} ))^{k-1} d {\phi}_1 ... d {\phi}_{n-1} dr \end{eqnarray*}$

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \int_0^R \int_0^{2 \pi } \int_0^{ \pi} ... \int_0^{\pi} \frac{1}{|x|^{\alpha}} r^{d-1} \prod_{k=1}^{d-1} (sin( \phi_{d-k} ))^{k-1} d \phi_1 ... d \phi_{n-1} dr \end{eqnarray*}$ .

Wie kann man das vereinfachen? Einfach integrieren?

30.09.2018, 19:21

Huggy

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Um die Integration über die Winkel musst du dich nicht kümmern. Du sollst ja nur bestimmen, ob das Integral konvergiert. Die Winkelintegrationen ergeben aber offensichtlich einen endlichen Faktor.

04.10.2018, 13:00

TierraT

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Danke!

Und das Produkt kommt auch weg weil es sowieso endlich ist? Aber warum verschwindet der Betrag?

Ich habe mir also das erste Integral angeschaut und habe $\begin{eqnarray*} \frac{R^{D- \alpha}}{D- \alpha} \end{eqnarray*}$ bekommen. Also das Integral existiert, solange $\begin{eqnarray*} D \neq \alpha \end{eqnarray*}$ ist. Stimmt das so?

Beim anderen Integral muss ich am besten partiell integrieren, oder?

04.10.2018, 19:37

Huggy

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Zitat:

Original von TierraT
Aber warum verschwindet der Betrag?

Die Bemerkung verstehe ich nicht. Es ist doch $\begin{eqnarray*} |x|=r \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich habe mir also das erste Integral angeschaut und habe $\begin{eqnarray*} \frac{R^{D- \alpha}}{D- \alpha} \end{eqnarray*}$ bekommen. Also das Integral existiert, solange $\begin{eqnarray*} D \neq \alpha \end{eqnarray*}$ ist. Stimmt das so?

Nein. Das Integral existiert in weiteren Fällen nicht. Existiert denn z. B.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^R \frac {dx}{x^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beim anderen Integral muss ich am besten partiell integrieren, oder?

Ja.

07.10.2018, 12:18

TierraT

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Danke! Alles klar, also:

$\begin{eqnarray*} \int_{B_R(0)} \frac{1}{| \alpha |} dx = \int_0^R \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} D= \alpha \Rightarrow \int_0^R \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} = ln(R) - \lim_{b \to 0} ln(b) \end{eqnarray*}$ , also es existiert nicht.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} D < \alpha \Rightarrow \int_0^R \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} = \frac{r^{D- \alpha}}{D- \alpha} |_0^R \end{eqnarray*}$ , und da $\begin{eqnarray*} D - \alpha \end{eqnarray*}$ negativ ist, hätten wir $\begin{eqnarray*} 1/r^m, m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , was bei $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to 0} \end{eqnarray*}$ nicht existiert.

Fall 3: $\begin{eqnarray*} D > \alpha \Rightarrow \int_0^R \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} = \frac{r^{D- \alpha}}{D- \alpha} |_0^R \end{eqnarray*}$ und das ist endlich.

Für das andere Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^R r^{d-1} log( \frac{1}{r}) dr = log( \frac{1}{r}) \frac{r^d}{d} |_0^R + \int \frac{r^{d-1}}{d} dr = \frac{r^d (1-d log(r))}{d^2} |_0^R \end{eqnarray*}$

und mit l'Hospital geht es bei 0 gegen 0, also bekommen wir $\begin{eqnarray*} \frac{R^d (1-d log(R))}{d^2} \end{eqnarray*}$ , was endlich ist.

Ok, und als letztes soll ich noch bestimmen, in welchen Fällen $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d \backslash B_R(0)} \frac{1}{| \alpha |} dx \end{eqnarray*}$ endlich ist. Was ändert sich, wenn ich über Komplement der n-dimensionalen Kugel integriere?

07.10.2018, 13:29

Huggy

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Zitat:

Original von TierraT
$\begin{eqnarray*} \int_{B_R(0)} \frac{1}{| \alpha |} dx = \int_0^R \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

Das müsste

$\begin{eqnarray*} \int_{B_R(0)} \frac{1}{|x|^\alpha} dx = c\int_0^R \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}}dr \end{eqnarray*}$

heißen. Abgesehen von solchen Ungenauigkeiten sieht das jetzt alles richtig aus, wobei ich nicht jede Zeile kontrolliert habe.

Zitat:

Ok, und als letztes soll ich noch bestimmen, in welchen Fällen $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d \backslash B_R(0)} \frac{1}{| \alpha |} dx \end{eqnarray*}$ endlich ist. Was ändert sich, wenn ich über Komplement der n-dimensionalen Kugel integriere?

Dafür hast du alle Vorarbeiten erledigt. Du musst das jetzt nur in den Grenzen $\begin{eqnarray*} [R, \infty) \end{eqnarray*}$ auswerten.

07.10.2018, 14:06

TierraT

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Danke!

Also $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d \backslash B_R(0)} \frac{1}{| \alpha |} dx = c* \int_R^{\infty} \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} dr \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} D= \alpha \Rightarrow \int_R^{\infty} \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} = \lim_{b \to \infty} ln(b) - ln(R) \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} D < \alpha \Rightarrow \int_R^{\infty} \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} = \frac{r^{D- \alpha}}{D- \alpha} |_R^{\infty} = 0 - \frac{R^{D- \alpha}}{D- \alpha} \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} D > \alpha \Rightarrow \int_R^{\infty} \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} = \frac{r^{D- \alpha}}{D- \alpha} |_R^{\infty} = \infty \end{eqnarray*}$

Also existiert das Integral nur wenn $\begin{eqnarray*} D < \alpha \end{eqnarray*}$ gilt.

07.10.2018, 14:17

Huggy

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Zitat:

Original von TierraT
Also $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d \backslash B_R(0)} \frac{1}{| \alpha |} dx = c* \int_R^{\infty} \frac{r^{D-1}}{r^{\alpha}} dr \end{eqnarray*}$

Schon wieder diese Ungenauigkeit im Nenner auf der linken Seite. Als Tutor würde ich dir wegen "fortgesetzt böswillig falschen Aufschriebs" Big Laugh

jede Menge Punkte abziehen.

Zitat:

Also existiert das Integral nur wenn $\begin{eqnarray*} D < \alpha \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber das stimmt für das erste Integral.

07.10.2018, 15:28

TierraT

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Ok, super, laut Angabe muss ich es nur für das erste bestimmen.

Vielen Dank für deine Hilfe!

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