Ungleichung mit Betrag: Lösungsmenge?

29.09.2018, 22:10

Daniko333

Ungleichung mit Betrag: Lösungsmenge?

Hallo an alle hier,

ich sitze hier mittlerweile schon gute 2 Stunden an 2 Aufgaben und bitte um irgendjemanden, der mir helfen kann und mir meinen Fehler im Lösungsweg aufzeigt bzw. seine Methode zum Lösen erklärt.

Es geht um folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie nun die Lösungsmenge der Ungleichung $\begin{eqnarray*} | 2x + 7/2 | \geq 3 \end{eqnarray*}$

Mein Weg:

1. Fall

$\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \geq 3 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \geq 0 = x\geq -7/4 \end{eqnarray*}$

und 2. Fall

$\begin{eqnarray*} -2x -7/2 \geq 3 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = x \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} -7/4 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich entsprechend bei Ungleichungen ausgerechnet und geschaut, welche stärker einschränkend ist:

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \geq 3 = x \geq -1/4 \end{eqnarray*}$ , was stärker einschränkend ist als x\geq -7/4[/latex]

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} -2x -7/2 \geq 3 = x \geq 1/4 \end{eqnarray*}$ , was nicht so einschränkend ist wie x[/latex] kleiner als $\begin{eqnarray*} -7/4 \end{eqnarray*}$

Daraus habe ich geschlussfolgert, dass die Lösungsmenge L $\begin{eqnarray*} = (-\infty ; -1/4] \cup (-7/4 ; infty) \end{eqnarray*}$ ist.

Das soll aber falsch sein, sieht ihr den Fehler?

Vielen vielen Dank für Hilfe

29.09.2018, 22:43

Helferlein

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RE: Ungleichung mit Betrag: Lösungsmenge?
Ich korrigiere mal die gröbsten Fehler.

Zitat:

Original von Daniko333
1. Fall

$\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \geq 3 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \geq 0 \color{red}<\color{black}=\color{red}>\color{black} x\geq -7/4 \end{eqnarray*}$

Wieso die Mühe? Es ist doch offensichtlich, dass $\begin{eqnarray*} 2x+\frac 72 \geq 0 \end{eqnarray*}$ wenn bereits $\begin{eqnarray*} 2x+ \frac 72 \geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

und 2. Fall

$\begin{eqnarray*} -2x -7/2 \geq 3 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} 2x +7/2 \leq 0 \color{red}<\color{black}=\color{red}>\color{black} x \color{red}\leq \color{black}-7/4 \end{eqnarray*}$

Auch hier zuviel Mühe: Aus $\begin{eqnarray*} -2x -\frac 72 \geq 3 \end{eqnarray*}$ folgt direkt $\begin{eqnarray*} 2x+ \frac 72 \leq -3<0 \end{eqnarray*}$

Deine Lösungsmenge wäre im übrigen die kompletten reellen Zahlen, was mit dem einfachen Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} x=-1 \Rightarrow |2x+\frac 72|=\frac 12 \not \geq 3 \end{eqnarray*}$ widerlegt wird.

30.09.2018, 08:45

jugin2509

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RE: Ungleichung mit Betrag: Lösungsmenge?
Hey, habe die Aufgabe mal nachgerechnet und 2 Dinge sind mir aufgefallen:

Im ersten Fall gibst du die Lösungsmenge als $\begin{eqnarray*} x\geq- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ an , aber schreibst für das Intervall
$\begin{eqnarray*} (-\infty ; -1/4] \end{eqnarray*}$ .Das ist ein Widerspruch.

Und im zweiten Fall hast du bei der Rechnung $\begin{eqnarray*} -2x -7/2 \geq 3 = x \geq 1/4 \end{eqnarray*}$ falsch umgeformt.Denke auch dran dass sich auch das Zeichen umdrehst wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder mit ihr teilst.

Viele Grüße

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