Dreidimensionale Parameteraufgabe

01.10.2018, 13:45

HAEngel2701

Dreidimensionale Parameteraufgabe

Meine Frage:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-2|-2|-2), B(-2|-1|3t) und C(-2t-2|5|-1) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Ortsvektoren von A, B und C nur für t=1 paarweise orthogonal sind.
b) Die Punkte O, A, B, C sind Eckpunkte einer Pyramide. Berechnen Sie deren Volumen für t=1.
c) Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks ABC für t=1.
d) Zeigen Sie, dass die Seitenmittelpunkte des räumlichen Vierecks OABC (in der angegebenen Reihenfolge) ein Parallelogramm bilden.

Meine Ideen:
a) jeweils das Skalarprodukt mit Parameter bilden und so umstellen, dass t=1 jeweils für alle 3 Kombinationen von Vektoren herauskommt
b) $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{6}*| (OA \times OC) * OB | =...=13 VE \end{eqnarray*}$
c) Definition des Skalarprodukts => alpha=71,3°; beta=68,5°; gamma=40,2°
d) Hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich hab erstmal die Vektoren OA, AB, BC und BO aufgestellt und dann jeweils deren Mittelpunkt mit AM=1/2 OA bzw. AB bzw. ... berechnet. Ich komme dann auf folgende Seitenmittelpunkte
(1) für OA: M(1|1|1)
(2) für AB: M(-2|-1,5|1,5t-1)
(3) für BC: M(-2-t|2|1,5t-0,5)
(4) für CO: M(-t-1|2,5|-0,5)

Jetzt müssten theoretisch M(1)M(2) und M(4)M(3) und M(2)M(3) und M(4)M(1) gleich sein, dass ist bei mir aber nicht der Fall unglücklich

01.10.2018, 14:07

HAL 9000

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Bei d) gibt es an sich gar nichts konkret zu rechnen, da diese Aussage für beliebige (!) vier Punkte $\begin{eqnarray*} D,A,B,C \end{eqnarray*}$ im Raum gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{M_{DA}M_{AB}} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{M_{CD}M_{BC}} \end{eqnarray*}$ (wg. zentrischer Streckung bzgl. A sowie C mit Faktor 2)

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{M_{AB}M_{BC}} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{M_{DA}M_{CD}} \end{eqnarray*}$ (wg. zentrischer Streckung bzgl. B sowie D mit Faktor 2) .

Das war's, damit ist $\begin{eqnarray*} M_{DA}M_{AB}M_{BC}M_{CD} \end{eqnarray*}$ ein Parallelogramm.

01.10.2018, 14:23

Colt

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Bei b) hab ich 14VE heraus, vllt nochmal den lösungsweg hier hinschreiben?

01.10.2018, 18:38

HAEngel2701

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@Colt: ja, da hab ich mich vertippt, müssen natürlich 14 VE sein.

@HAL9000: hm, ok! Erscheint logisch, wenn man sich das mal in einer Skizze aufzeichnet. Kann man das auch noch auf einen anderen Weg zeigen verwirrt

ne Skizze ist ja noch kein Beweis

01.10.2018, 20:18

mYthos

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Du kannst das Ding auch rein vektoriell rechnen. Es muss nicht einmal ein ebenes Viereck sein, es genügt ein geschlossener Vektorzug.
Das Parallelogramm jedoch liegt immer in einer Ebene.

Seien a, b, c, d die Ortsvektoren zu den Eckpunkten, M1 - M4 jeweils die Mittelpunkte der Seiten.
m1 = (a+b)/2, m2 = (b+c)/2, m3 = (c+d)/2 und m4 = (a+d)/2, ebenfalls alle Ortsvektoren.

Dann sind M4M1 = (b-d)/2, M1M2 = (c-a)/2, M2M3 = (d-b)/2 und M3M4 = (a-c)/2

Nun sieht man, dass diese Vektoren paarweise parallel und gleich lang sind.

mY+

02.10.2018, 07:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAEngel2701
ne Skizze ist ja noch kein Beweis

Hab ich ja auch nicht gesagt, sondern "wg. zentrischer Streckung ..." Augenzwinkern

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