Arithmetisches Mittel und Minimum der Elemente

01.10.2018, 18:15

wuttkea

Arithmetisches Mittel und Minimum der Elemente

Meine Frage:
Hallo miteinander und danke bereits für eure Unterstützung bei diesem Problem!

als sozialwissenschaftlicher Promotionsstudent habe ich zwar des Öfteren mit Formel, aber selten mit wirklicher Mathematik zu tun und bitte um Nachsicht bei terminologischen Fehlern.
Wir haben eine Menge an Variablen X (sagen wir x_1, x_2, x_3) und aggregieren diese Variablen auf zwei unterschiedliche Weisen in die Zielkonzepte Y_1 und Y_2. Wir möchten nun verstehen, unter welchen Bedingungen Y_1 = Y_2 und unter welchen Bedingungen und wie sehr sich Y_1 und Y_2 in Abhängigkeit von x_1 ... x_n unterscheiden.

$\begin{eqnarray*} Y_1 \text{ und } Y_2 \end{eqnarray*}$ sind wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} Y_1 = \frac 1 n \sum_{(i=1)}^n x_i \end{eqnarray*}$ (also bloß das arithmetische Mittel)

$\begin{eqnarray*} Y_2 = \min(x_1, ... x_n) \end{eqnarray*}$ (also das Minimum der Elemente)

Wir sind nun an Z interessiert, das die absolute Differenz dieser beide Werte angibt

$\begin{eqnarray*} Z = |( Y_1-Y_2 )| \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun die Gleichung aus, mit der wir Z berechnen können? Dieses Minimum ist ja gleichungsmäßig nicht handhabbar.

MfG
Alexander Wuttke

Meine Ideen:
Wir ahnen, dass Z von der Co-Varianz von $\begin{eqnarray*} x_1, ... x_n \end{eqnarray*}$ abhängt, aber ich wüsste nicht wie man das mathematisch zeigen oder genau berechnen kann. Außerdem ist es ja nicht bloß die Varianz, sondern vermutlich spielt auch eine Rolle, ob und wie sehr der niedrigste Wert entfernt ist von den anderen Werten.
Am Ende wollen wir Daumenregeln-Aussagen darüber treffen, wann $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ sehr ähnlich und wann sie sehr verschieden sind.
Kann uns hier jemand weiterhelfen?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt und Tags eingefügt.

02.10.2018, 07:58

HAL 9000

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Zunächst mal ist stets $\begin{eqnarray*} Y_1\geq Y_2 \end{eqnarray*}$ , daher kann man die Betragszeichen getrost weglassen: $\begin{eqnarray*} Z=Y_1-Y_2 \end{eqnarray*}$

Mit "Z berechnen" meinst du nun vermutlich, die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z berechnen? Kann man machen, man benötigt dazu aber die Wahrscheinlichkeitsverteilung der (vermutlich unabhängig identisch verteilten) $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von wuttkea
Wir ahnen, dass Z von der Co-Varianz von $\begin{eqnarray*} x_1, ... x_n \end{eqnarray*}$ abhängt,

Das soll dann wohl heißen, dass die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig sind? Das verkompliziert die Lage zusätzlich.

Zitat:

Original von wuttkea
wann $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ sehr ähnlich und wann sie sehr verschieden sind.

Es ist ja klar (s.o.), dass $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ in der Mitte und $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ irgendwo am unteren Ende des Verteilungsbereiches zu finden sind, zumal bei größeren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Da ist eigentlich von vornherein klar, dass man "sehr ähnlich" gleich vergessen kann.

P.S.: Bei bekannter Verteilung der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kann man sich der Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ natürlich auch durch Simulation nähern, falls einem die theoretische Berechnung dieser Verteilung über den Kopf wächst.

02.10.2018, 09:16

wuttkea

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Servus Hal,

besten Dank!

Wir würden uns Z gerne auf individueller Ebene und auf Ebene des gesamten Datensatz (der Durchschnitt von Z) ansehen. Auf individueller Ebene ist es in unserem Fall nicht unplausibel, dass in einigen Fällen Y_1 = Y_2.
(Wir messen hier populistische Einstellungen und x_1 ... X_n sind die Einstellungsdimensionen und Y_1 und Y_2 sind verschiedene Aggregationsmethoden desselben Einstellungskonzeptes).

"Mit "Z berechnen" meinst du nun vermutlich, die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z berechnen? Kann man machen, man benötigt dazu aber die Wahrscheinlichkeitsverteilung der (vermutlich unabhängig identisch verteilten) X_i"
Ja, also die X_i sind in manchen Datensätzen miteinander korreliert, aber dem Prinzip nach unabhängig voneinander.

OK. Man benötigt hier also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Ich hatte gehofft, dass es hier eine ganz einfache mathematische Gleichung geben, die sich mir als Anfänger nur nicht gleich erschlossen hat. Aber verstehe ich es also richtig, dass wir hier ein lösbares Problem haben, das man mit ein wenig Schulmathe aber nicht mal eben auflösen kann?

Denn ja, der Vorschlag bzgl. Simulation scheint exzellent. Dann könnte man wieder dem Statistikprogramm die Arbeit überlassen, wenn die algebraische (?) Auflösung nicht so trivial ist wie erhofft.

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