Dimension zweier Untervektorräume

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asker Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension zweier Untervektorräume
Meine Frage:
Ich würde gerne wissen wie man auf die Lösung dieser beiden Aufgaben kommt.
Vielen Dank im voraus

Meine Ideen:
Für die erste Aufgabe würde ich den Dimensionensatz anwenden, jedoch verstehe ich nicht wie man dabei auf 19 kommt
asker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension zweier Untervektorräume
ok habe jetzt einen Lösungsweg und würde gerne wissen ob dieser passt.
dim (U+V) = dim(U)+dim(V) -

dim (U+V) = 15+10-6

Edit mY+: LaTeX berichtigt (cup anstatt cut)
Edit Helferlein: Von cup (Vereinigung) auf cap(Schnittmenge) geändert (Siehe unten stehende Bemerkung von asker)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte die Vereinigung zweier Vektorräume ein Vektorraum sein? Einfachstes Beispiel: Die Geraden y=x und y=2x. Sie bilden einen Vektorraum, ihre Summe aber sicher nicht.
Meinst Du nicht eher die Schnittmenge, anstelle der Vereinigung? Diese hat aber nicht die Dimension 6.
Mach Dir erst einmal klar, welche Matrizen in U und welche in V sind. Dann wird Dir der Schnitt und seine Dimension sicher schnell einfallen.
asker Auf diesen Beitrag antworten »

Es war auch der Schnitt gemeint (Latex Skills 404), wurde jedoch von myThos editiert...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du inzwischen weiter gekommen? Ist Dir klar geworden, wie der Schnitt aussieht und welche Dimension er wirklich hat?
asker Auf diesen Beitrag antworten »

nein leider nicht :/
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hab die Angaben zu U nicht richtig gelesen.

U ist die Menge aller Matrizen, deren letzten beiden Spalten nur Nullen enthalten. Der Raum hat somit die Dimension 25-10=15
V ist die Menge aller Matrizen, deren ersten drei Zeilen nur Nullen enthalten. Der Raum hat somit die Dimension 25-15=10

ist der Schnitt dieser Räume, also alle Matrizen, deren ersten drei Zeilen und letzten beiden Spalten nur Nullen enthalten. Die Matrizen können also nur in den Einträgen ungleich Null sein, deren Zeilenindex vier oder fünf und den Spaltenindex 1-3 beträgt. Das ergibt die Dimension 2*3=6.

Insgesamt ergibt sich die in deiner Formel genannte Lösung 15+10-6=19.
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