Beweis des Verschiebungssatzes ohne Linearität

02.10.2018, 19:02

Naryxus

Beweis des Verschiebungssatzes ohne Linearität

Hallo,

mir ist bewusst, dass der Verschiebungssatz über die Linearität des Erwartungswerts straightforward beweisbar ist.
Ich möchte hingegen die Linearität bewusst nicht (explizit) verwenden.

Ist mein Beweis denn korrekt:

$\begin{eqnarray*} &&\text{Var}(f) = \mathbb{E}((f - \mathbb{E}(f))^2) &&= \mathbb{E}(f^2 - 2f\mathbb{E}(f) + \mathbb{E}(f)^2) &&= \sum_{x}\left(p(x)(f(x)^2 - 2f(x)\mathbb{E}(f) + \mathbb{E}(f)^2)\right) &&= \sum_{x}\left(p(x)f(x)^2 - 2p(x)f(x)\mathbb{E}(f) + p(x)\mathbb{E}(f)^2\right) &&= \sum_xp(x)f(x)^2 - 2\mathbb{E}(f)\sum_xp(x)f(x) + \mathbb{E}(f)^2\sum_x p(x) &&= \mathbb{E}(f^2) - 2\mathbb{E}(f)\mathbb{E}(f) + \mathbb{E}(f)^2 \cdot 1 &&= \mathbb{E}(f^2) - 2\mathbb{E}(f)^2 + \mathbb{E}(f)^2 = \mathbb{E}(f^2) - \mathbb{E}(f)^2 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

02.10.2018, 21:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Naryxus
Ich möchte hingegen die Linearität bewusst nicht (explizit) verwenden.

Dafür nimmst du in Kauf, dass dein Beweis nur noch für diskrete Zufallsgrößen taugt... zumindest für die ist er richtig.

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