Unleserlich! DGL-Lösung

02.10.2018, 22:48

georg2000

DGL-Lösung

Hallo $\begin{eqnarray*} u,v,\in R \end{eqnarray*}$ man soll prüfen ob $\begin{eqnarray*} u*e^{-1/2*x^2}+v*\int_0^x e^{1/2 *(t^2-x^2)} dt \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Differentialgleichung :
$\begin{eqnarray*} y"+xy'+y=0 \end{eqnarray*}$
.

also ich weiß das ich 2 mal ableiten muss und dan einsetzn und nachrechen , nur ich habe die Schwierigkeit das Integral abzuleiten .

ich meine ich könnte $\begin{eqnarray*} e^{1/2 *(t^2-x^2)} =e^{-1/2*x^2}*e^{-1/2*t^2} \end{eqnarray*}$ schreiben und den term mit x als Konstante vors Integral schreiben weil ich ja nach t integriere.
dann müsste ich aber das Produkt: $\begin{eqnarray*} v*e^{-1/2*x^2}*\int_0^xe^{1/2*t^2}dt \end{eqnarray*}$ ableiten .

das ist ja dann $\begin{eqnarray*} f(x)*g(x)'+f(x)'g(x) \end{eqnarray*}$
wenn ich das Integral gleichlasse geht es nicht weg..

gibt es da vl Vorschläge von euch?
Danke!!

03.10.2018, 12:56

Huggy

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RE: dgl lsg

Zitat:

Original von georg2000

$\begin{eqnarray*} y"+xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

Unleserlich!
.

Zitat:

nur ich habe die Schwierigkeit das Integral abzuleiten .

Was ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} \int\limits_a^x f(t)dt \end{eqnarray*}$

Erstaunlich, wie oft diese Frage kommt, obwohl das aus der Schule bekannt sein sollte. Das bestimmte Integral von $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ lässt sich mittels einer Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ berechnen. Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion, deren Ableitung ...

03.10.2018, 14:01

georg2000

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RE: dgl lsg
Hallo nochmals ;
da ist mir ein fehler passiert :
die DGl lautet:
$\begin{eqnarray*} y'' +xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

und das Integral gibt schlicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$
mich hat nur das x im Integral irritiert .
aber wenn ich es als Konstante raushole und dann mit Produktregel ableite könnte ich zum Ziel Kommen, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^x e^{1/2*t^2}dt \end{eqnarray*}$ kürze ich mit I ab , dann
$\begin{eqnarray*} I(x)'= e^{1/2*x^2} \end{eqnarray*}$ .

03.10.2018, 14:11

Huggy

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RE: dgl lsg

Zitat:

Original von georg2000
da ist mir ein fehler passiert :
die DGl lautet:
$\begin{eqnarray*} y'' +xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

Das war mir schon klar. Üer Zitat konnte ich sehen, was gemeint war. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass meine seine Fragen noch mal über Vorschau ansehen sollte, bevor man sie losschickt.

Zitat:

und das Integral gibt schlicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$

Du meinst $\begin{eqnarray*} F(x \end{eqnarray*}$ )!?

Zitat:

mich hat nur das x im Integral irritiert .
aber wenn ich es als Konstante raushole und dann mit Produktregel ableite könnte ich zum Ziel Kommen, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^x e^{1/2*t^2}dt \end{eqnarray*}$ kürze ich mit I ab , dann
$\begin{eqnarray*} I(x)'= e^{1/2*x^2} \end{eqnarray*}$ .

Das mit dem Rausholen geht nicht immer. Man sollte die allgemeine Regel kennen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Parameteri...ameterintegrale

03.10.2018, 14:38

georg2000

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Danke für den Hinweis !
was ich meinte ist wenn man das Integral ableitet bekommt man $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , da
$\begin{eqnarray*} \int_0^x f(t)dt=d[F(x)-F(0)]/dt= F(x)'=f(x) \end{eqnarray*}$
falls die grenze eine andere Funktion von x wäre müsste man die innere Ableitung noch dazugeben.

die Leibnitzregel besagt : die Grenzen als Funktionen von x sowie die zu integrierende Funktion die hier von x und t abhängt müssen stetig differenzierbare Funktionen sein , was sie auch sind .
dann kann man den teil rausholen oder hab ich das falsch verstanden?

03.10.2018, 14:48

Huggy

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Zitat:

Original von georg2000
dann kann man den teil rausholen oder hab ich das falsch verstanden?

Vielleicht reden wir aneinander vorbei. Ich meinte, ein Integral

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^x f(x,t)dt \end{eqnarray*}$

lässt sich im allgemeinen nicht umschreiben in eine Form

$\begin{eqnarray*} g(x)\int\limits_a^x h(t)dt \end{eqnarray*}$

Dann muss man bei der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Leibnizregel in der allgemeinen Form anwenden, wie sie in der Wikipedia steht. Dein Beispiel war eine Ausnahme, wo sich der Integrand faktorisieren lässt $\begin{eqnarray*} f(x,t)=g(x)h(t) \end{eqnarray*}$ .

03.10.2018, 15:47

georg2000

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Verstehe !
aber dies funktioniert dann mit der Produktregel abzuleiten oder gibt es da auch noch eine Einschränkung?
$\begin{eqnarray*} f(x)*\int_0^xg(t)dt \end{eqnarray*}$

03.10.2018, 16:34

Huggy

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Wenn der Integrand sich faktorisieren lässt, gibt es keine Einschränkung für die Produktregel.

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