Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen

03.10.2018, 18:52

LuciaSera

Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen

Ich habe 2 Aufgaben auf meinem Übungsblatt, bei welchen ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich sie korrekt gelöst habe:

1)
Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} f_n:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses Beispiel angehen soll. Zuerst prüfe ich auf punktweise Konvergenz. Dafür bilde ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ .

Dann bekomme ich folgendens:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} = \sqrt{x^2} = x := f(x) \end{eqnarray*}$

Okay ich habe jetzt eine Nacht darüber geschlafen und bin zu folgender Erkenntnis gekommen:

Die Grenzfunktion lautet $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und damit konvergiert meine Funktionenfolge punktweise. Dann:
$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}-\sqrt{x^2}| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \sqrt{x^2}-\sqrt{x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist meine Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergent - ist das so korrekt?

und
2)
Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
a)
$\begin{eqnarray*} f_n:[-1,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n(x^{2n}-1) \end{eqnarray*}$

Hier dachte ich zuerst, ich müsste eine Fallunterscheidung machen, aber wenn man es genau betrachtet, ist die Grenzfunktion immer 0 oder? Denn falls $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Funktionenfolge 0 und falls $\begin{eqnarray*} x \to -1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ dann wird der zweite Faktor 0 und die Funktionenfolge strebt somit auch wieder gegen 0.
Stimmt diese Überlegung?

Wenn ja, dann habe ich die gleichmäßige Konvergenz so gezeigt:
$\begin{eqnarray*} |x^n(x^{2n}-1)-0| = |x^n||(x^{2n}-1)| \leq 1*|x^{2n}| = |x^2|^n \leq 1^n \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

b)
$\begin{eqnarray*} f_n:[0,1) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n(x^{2n}-1) \end{eqnarray*}$

Sprich es hat sich "nur" das Intervall geändert. Die Funktionenfolge ist die selbe geblieben.

Meiner Meinung nach, bleibt die Grenzfunktion die selbe, also 0. Es würde ja nur die Betrachtung für $\begin{eqnarray*} x \to -1 \end{eqnarray*}$ wegfallen oder?

Und hier ist es aber nun so, dass ich für die gleichmäßige Konvergenz auf diese Form komme:
$\begin{eqnarray*} |x^n(x^{2n}-1)-0|= ... =x^{2n} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

Diesesmal ist der Grenzwert 0, weil ich sich mein x auf einem offenen Intervall bewegt und somit nie den Wert 1 wirklich annimmt. Ist diese Überlegung korrekt?

Ich freue mich wirklich über jede Hilfe und jeden Hinweis von euch! Gott

04.10.2018, 08:46

klarsoweit

Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen

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